Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SMF-RJ 2023 - Manhã (P1) (nº 21)

O valor esperado (ou média) de uma variável aleatória é a soma de cada valor possível multiplicado pela sua probabilidade de ocorrência. Para calcular $E(X_3)$, a posição esperada após 3 saltos, precisamos determinar todas as posições possíveis da partícula e suas respectivas probabilidades após cada salto.

1. Após o 1º salto ($X_1$):
   A partícula começa em $X_0 = 0$. A distância da origem é $d = |0| = 0$.
   A probabilidade de saltar para cima é $\frac{1}{0+1} = 1$.
   A probabilidade de saltar para baixo é $\frac{0}{0+1} = 0$.
   Portanto, $X_1$ será $0+1 = 1$com probabilidade 1.$E(X_1) = 1 \times 1 = 1$.

2. Após o 2º salto ($X_2$):
   A partícula está em $X_1 = 1$. A distância da origem é $d = |1| = 1$.
   A probabilidade de saltar para cima é $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
   A probabilidade de saltar para baixo é $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
   Então, $X_2$ pode ser:

   • $1+1 = 2$com probabilidade$\frac{1}{2}$.
   • $1-1 = 0$com probabilidade$\frac{1}{2}$.$E(X_2) = (2 \times \frac{1}{2}) + (0 \times \frac{1}{2}) = 1 + 0 = 1$.

3. Após o 3º salto ($X_3$):
   Precisamos considerar os dois estados possíveis de $X_2$:

   • Se $X_2 = 2$ (ocorre com probabilidade $\frac{1}{2}$):
     A distância da origem é $d = |2| = 2$.
     A probabilidade de saltar para cima é $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
     A probabilidade de saltar para baixo é $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
     Partindo de $X_2=2$:

     • $X_3 = 2+1 = 3$ com probabilidade $\frac{1}{3}$.
     • $X_3 = 2-1 = 1$ com probabilidade $\frac{2}{3}$.

   • Se $X_2 = 0$ (ocorre com probabilidade $\frac{1}{2}$):
     A distância da origem é $d = |0| = 0$.
     A probabilidade de saltar para cima é $\frac{1}{0+1} = 1$.
     A probabilidade de saltar para baixo é $\frac{0}{0+1} = 0$.
     Partindo de $X_2=0$:

     • $X_3 = 0+1 = 1$ com probabilidade $1$.

   Agora, calculamos as probabilidades de cada valor final de $X_3$:

   • $P(X_3=3) = P(X_2=2) \times P(X_3=3 | X_2=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
   • $P(X_3=1) = [P(X_2=2) \times P(X_3=1 | X_2=2)] + [P(X_2=0) \times P(X_3=1 | X_2=0)]$
     $P(X_3=1) = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{2} \times 1) = \frac{2}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.

   Verificando a soma das probabilidades: $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$.

4. Cálculo de $E(X_3)$:
   $E(X_3) = (3 \times P(X_3=3)) + (1 \times P(X_3=1))$
   $E(X_3) = (3 \times \frac{1}{6}) + (1 \times \frac{5}{6})$
   $E(X_3) = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

(A) Incorreta: O valor 2 não corresponde à média calculada. Seria a posição se a partícula subisse duas vezes e depois descesse, ou subisse, descesse e subisse, mas com probabilidades diferentes das dadas.
(B) Incorreta: O valor 1 é a média de $X_1$ e $X_2$. É um distrator comum que induz o erro de parar o cálculo antes do número correto de saltos ou assumir que a média se estabiliza.
(C) Incorreta: O valor $\frac{2}{3}$ não é o resultado da média calculada. Poderia ser um erro de cálculo, como subtrair em vez de somar as frações ou inverter as probabilidades.
(D) Incorreta: O valor $\frac{5}{4}$ não é o resultado da média calculada. É um distrator que pode surgir de pequenos erros aritméticos na soma das frações ou de uma interpretação ligeiramente diferente das probabilidades em alguma etapa. Por exemplo, se a probabilidade de $X_3=3$ fosse $1/8$e$X_3=1 fosse \7/8$, o que não é o caso aqui. **(E) Correta:** O valor de$E(X_3)$é$\frac{4}{3}$, conforme demonstrado pelo cálculo passo a passo das probabilidades de transição e da média ponderada das posições finais. O conceito chave é entender que as probabilidades de salto dependem da distância atual da origem e que o cálculo da esperança deve considerar todas as trajetórias possíveis e suas probabilidades acumuladas.