Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-RJ 2011 - Prova 1 (nº 24)

O coeficiente de correlação é uma medida estatística que indica a força e a direção da relação linear entre duas variáveis (X e Y), variando sempre de -1 a +1. Ele é calculado dividindo a covariância (que mede como as variáveis se movem juntas) pelo produto dos seus desvios-padrão (que medem a dispersão de cada variável individualmente).

A fórmula para o coeficiente de correlação ($\rho_{XY}$) é:
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$

Dados fornecidos:

• Desvio-padrão de X ($\sigma_X$) = 40
• Desvio-padrão de Y ($\sigma_Y$) = 20
• Covariância entre Y e X ($\text{Cov}(Y, X)$) = –100 (a covariância entre Y e X é a mesma que entre X e Y)

Substituindo os valores na fórmula:
$\rho_{XY} = \frac{-100}{40 \cdot 20}$
$\rho_{XY} = \frac{-100}{800}$
$\rho_{XY} = -\frac{1}{8}$
$\rho_{XY} = -0,125$

(A) Incorreta: O valor de –0,5 seria obtido se o denominador fosse 200, o que não corresponde ao produto dos desvios-padrão fornecidos.
(B) Incorreta: O valor de 2 está fora do intervalo válido para o coeficiente de correlação, que é sempre entre -1 e +1. Esta alternativa indica um erro conceitual grave.
(C) Incorreta: O valor de –0,25 seria obtido se o denominador fosse 400, o que não corresponde ao produto dos desvios-padrão fornecidos.
(D) Correta: O cálculo correto utilizando a fórmula $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{-100}{40 \cdot 20} = \frac{-100}{800} = -0,125$.
(E) Incorreta: O valor de 0,125 seria obtido se a covariância fosse positiva (+100) em vez de negativa (–100). A armadilha da banca aqui é testar a atenção ao sinal da covariância, um erro comum de desatenção.