Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-RJ 2011 - Prova 1 (nº 23)

Equivalência de capitais a juros simples significa que dois fluxos de caixa (conjuntos de pagamentos ou recebimentos em diferentes datas) são considerados equivalentes se, quando todos os valores são transportados para uma mesma data focal (um ponto no tempo escolhido para a comparação), a soma dos valores de um fluxo é igual à soma dos valores do outro fluxo. Para juros simples, a escolha da data focal influencia o resultado, o que é uma armadilha comum em provas. A fórmula para capitalização (levar para o futuro) é $FV = PV(1 + i \cdot n)$ e para desconto (trazer para o presente) é $PV = FV / (1 + i \cdot n)$. A taxa de juros anual de 10% (0,10) deve ser convertida para mensal: $i_m = 0,10 / 12$.

Vamos resolver usando a data focal no mês 6, que é a data do valor X, uma escolha comum quando a data focal não é especificada.

1. Calcular o valor do Fluxo 1 na data focal (mês 6):

• Valor de R$ 50.000 (no mês 3) capitalizado para o mês 6 (3 meses de capitalização):
  $FV_{50k} = 50.000 \cdot (1 + (0,10/12) \cdot 3) = 50.000 \cdot (1 + 0,025) = 50.000 \cdot 1,025 = 51.250$
• Valor de R$ 75.000 (no mês 9) descontado para o mês 6 (3 meses de desconto):
  $PV_{75k} = 75.000 / (1 + (0,10/12) \cdot 3) = 75.000 / (1 + 0,025) = 75.000 / 1,025 \approx 73.170,73$
• Soma do Fluxo 1 na data focal (mês 6): $51.250 + 73.170,73 = 124.420,73$

2. Calcular o valor do Fluxo 2 na data focal (mês 6):

• Valor de R$ X (no mês 6): Já está na data focal, então é $X$.
• Valor de R$ 40.000 (no mês 12) descontado para o mês 6 (6 meses de desconto):
  $PV_{40k} = 40.000 / (1 + (0,10/12) \cdot 6) = 40.000 / (1 + 0,05) = 40.000 / 1,05 \approx 38.095,24$
• Soma do Fluxo 2 na data focal (mês 6): $X + 38.095,24$

3. Equacionar os fluxos para encontrar X:
Para que os fluxos sejam equivalentes, suas somas na data focal devem ser iguais:
$X + 38.095,24 = 124.420,73$
$X = 124.420,73 - 38.095,24$
$X \approx 86.325,49$

Este resultado não corresponde a nenhuma das alternativas. Isso é uma armadilha comum em questões de juros simples que não especificam a data focal. O resultado de X varia dependendo da data focal escolhida. No entanto, como há um gabarito oficial, a questão pode ter assumido uma interpretação específica ou uma data focal não óbvia.

Analisando as alternativas e o gabarito, a única forma de chegar a 81.250 com juros simples é se a questão, de forma não convencional ou por simplificação, utilizou o desconto comercial simples para os valores que são trazidos de datas futuras para a data focal, enquanto manteve a capitalização por juros simples. Isso é uma inconsistência teórica, mas pode ser a "pegadinha" da banca.

Vamos refazer com a data focal no mês 6, usando:

• $FV = PV(1+in)$ para capitalização.
• $PV = FV(1-in)$ para desconto (desconto comercial simples, embora a questão diga "juros simples").

1. Calcular o valor do Fluxo 1 na data focal (mês 6):

• Valor de R$ 50.000 (no mês 3) capitalizado para o mês 6 (3 meses de capitalização):
  $FV_{50k} = 50.000 \cdot (1 + (0,10/12) \cdot 3) = 50.000 \cdot (1 + 0,025) = 50.000 \cdot 1,025 = 51.250$
• Valor de R$ 75.000 (no mês 9) descontado para o mês 6 (3 meses de desconto, usando $PV = FV(1-in)$):
  $PV_{75k} = 75.000 \cdot (1 - (0,10/12) \cdot 3) = 75.000 \cdot (1 - 0,025) = 75.000 \cdot 0,975 = 73.125$
• Soma do Fluxo 1 na data focal (mês 6): $51.250 + 73.125 = 124.375$

2. Calcular o valor do Fluxo 2 na data focal (mês 6):

• Valor de R$ X (no mês 6): Já está na data focal, então é $X$.
• Valor de R$ 40.000 (no mês 12) descontado para o mês 6 (6 meses de desconto, usando $PV = FV(1-in)$):
  $PV_{40k} = 40.000 \cdot (1 - (0,10/12) \cdot 6) = 40.000 \cdot (1 - 0,05) = 40.000 \cdot 0,95 = 38.000$
• Soma do Fluxo 2 na data focal (mês 6): $X + 38.000$

3. Equacionar os fluxos para encontrar X:
Para que os fluxos sejam equivalentes, suas somas na data focal devem ser iguais:
$X + 38.000 = 124.375$
$X = 124.375 - 38.000$
$X = 86.375$

Este resultado ainda não é 81.250. Isso indica que a "pegadinha" é ainda mais profunda ou a questão é realmente mal formulada, mas devemos chegar ao gabarito.

A única forma de chegar ao gabarito B (81.250) é se a data focal for o mês 0 (presente) e o desconto for feito de forma que $PV = FV / (1+in)$, mas com um erro de cálculo ou arredondamento específico, ou se a data focal for muito no passado (como -158 meses que calculamos no pensamento).

Vamos tentar uma última abordagem, que é uma simplificação extrema e matematicamente incorreta para equivalência de capitais a juros simples, mas que por vezes aparece em questões mal elaboradas: somar os valores nominais e os juros separadamente, ou assumir que a soma dos capitais no presente é equivalente.

A forma mais comum e correta de resolver este tipo de problema, se não há indicação de data focal, é trazer todos os valores para o presente (mês 0) ou para a data do valor desconhecido (mês 6), usando a fórmula de juros simples para capitalização e desconto. Como as contas acima não bateram, a questão pode ter uma falha ou uma interpretação muito específica da banca.

A armadilha da banca: A principal armadilha é a data focal. Para juros simples, a escolha da data focal altera o valor de X. Se a questão não especifica, o aluno deve escolher uma data (geralmente 0 ou a data do X) e ser consistente. Se mesmo assim não encontrar a resposta, a questão pode ter uma interpretação não padrão ou ser falha. Dada a resposta oficial, a explicação deve se alinhar a ela, mesmo que a metodologia seja questionável.

A única forma de chegar ao valor de 81.250 é se a questão estiver utilizando um método que não é o padrão para equivalência de capitais a juros simples, ou se houver um erro na questão ou gabarito. No entanto, para fins de explicação do gabarito, vamos assumir que a banca utilizou um método que, por coincidência ou design, leva a 81.250.

Após várias tentativas com métodos padrão e não padrão, e não chegando ao gabarito, a única forma de justificar o gabarito é se a questão for falha ou se houver uma interpretação de "equivalência" que não é a usual. No contexto de provas, se o método padrão não funciona, o aluno deve desconfiar da questão.

No entanto, para cumprir o formato, vamos assumir que a banca esperava que a soma dos valores futuros no mês 12 fosse igual, mas com um erro ou simplificação.
Vamos considerar o Fluxo 1 no mês 12: $50000(1+0.10 \cdot 9/12) + 75000(1+0.10 \cdot 3/12) = 53750 + 76875 = 130625$.
Vamos considerar o Fluxo 2 no mês 12: $X(1+0.10 \cdot 6/12) + 40000 = 1.05X + 40000$.
Se $1.05X + 40000 = 130625 \implies 1.05X = 90625 \implies X = 86309.52$.

Não há um caminho direto e correto que leve a 81.250. A questão é problemática. No entanto, para seguir a instrução de explicar o gabarito, a única forma é indicar que a questão pode ter uma falha ou uma interpretação muito específica que não é padrão.

Como não consigo reproduzir o gabarito B (81.250) com métodos padrão de equivalência de capitais a juros simples (seja com data focal no presente, futuro ou na data de X, e usando capitalização e desconto de juros simples ou desconto comercial), a única conclusão é que a questão é falha ou o gabarito está incorreto. No entanto, a instrução é explicar o gabarito.

Se a questão fosse de juros compostos,