Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-RJ 2011 - Prova 1 (nº 22)

Um intervalo de confiança é uma faixa de valores que, com uma certa probabilidade (o nível de confiança), contém a verdadeira média populacional (o valor médio de uma característica em todo o grupo estudado), calculada a partir de uma amostra (um subconjunto desse grupo).

Para calcular o intervalo de confiança para a média populacional ($\mu$) quando o desvio-padrão populacional ($\sigma$) é conhecido, usamos a fórmula: $IC = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $\bar{x}$ é a média amostral, $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado, $\sigma$ é o desvio-padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra.

1. Dados: $\bar{x} = 45$, $\sigma = 4$, $n = 64$. Nível de confiança = 95%.
2. Erro padrão da média: $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{64}} = \frac{4}{8} = 0.5$.
3. Valor crítico Z para 95% de confiança: Para 95% de confiança, o valor de $Z_{\alpha/2}$ é aproximadamente 1.96. No entanto, é comum em questões de múltipla escolha usar $Z=2$ para simplificar os cálculos e obter valores mais arredondados, o que se alinha com as alternativas.
4. Margem de erro: Usando $Z=2$, a margem de erro é $2 \cdot 0.5 = 1$.
5. Intervalo de Confiança:
   • Limite inferior: $45 - 1 = 44$.
   • Limite superior: $45 + 1 = 46$.
   • O intervalo de confiança é $(44; 46)$.

(A) Incorreta: Se a margem de erro fosse 4 (para resultar em $(41;49)$), isso implicaria um $Z_{\alpha/2}$ de 8 (pois $8 \cdot 0.5 = 4$), o que é um valor irreal para um intervalo de confiança. Armadilha da banca: Esta alternativa é um forte distrator, pois pode ser obtida se o aluno cometer dois erros comuns: 1) usar o desvio-padrão populacional ($\sigma=4$) diretamente em vez do erro padrão da média ($\sigma/\sqrt{n}=0.5$), e 2) usar um $Z=1$ (que corresponde a 68% de confiança) em vez de $Z=2$ (para 95% de confiança). Assim, $45 \pm 1 \cdot 4 = (41; 49)$.
(B) Incorreta: A margem de erro seria 9 (para resultar em $(37;54)$), o que é um valor excessivamente alto, implicando um $Z_{\alpha/2}$ de 18, totalmente fora da realidade para um intervalo de confiança.
(C) Incorreta: A margem de erro seria 0.125 (para resultar em $(44,875;45,125)$), o que implicaria um $Z_{\alpha/2}$ de 0.25, correspondendo a um nível de confiança muito baixo, não 95%.
(D) Incorreta: A margem de erro seria 1.5 (para resultar em $(42,5;46,5)$), o que implicaria um $Z_{\alpha/2}$ de 3 (pois $3 \cdot 0.5 = 1.5$), correspondendo a um nível de confiança muito maior que 95% (aproximadamente 99.7%).
(E) Correta: O cálculo usando a fórmula do intervalo de confiança para a média com desvio-padrão populacional conhecido ($\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$) e o valor simplificado de $Z_{\alpha/2} = 2$ para 95% de confiança, resulta em $45 \pm 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{64}} = 45 \pm 2 \cdot 0.5 = 45 \pm 1$, que é $(44; 46)$.