Questão de Matemática Financeira e Estatística — FGV Sefaz-MT 2023 - Manhã (nº 31)
Um empréstimo será quitado em 12 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas um mês após a data da contratação. Se o sistema de amortização utilizado fosse o SAC, o valor da 7ª prestação corresponderia a 124% do valor amortizado por esse pagamento.
Por outro lado, se o sistema utilizado fosse o francês, o valor de cada uma das prestações seria R$ 6.392,13 e a amortização proporcionada pelo pagamento da 1ª prestação seria de R$ 3.992,13.
No entanto, as partes envolvidas acordaram que o sistema utilizado para a quitação desse empréstimo será o misto (SAM).
Sendo assim, o valor da 1ª prestação será, aproximadamente, de
- AR$ 6.589,00.
- BR$ 6.698,00.
- CR$ 6.769,00.
- DR$ 6.896,00.
- ER$ 6.987,00.
Resposta comentada
Gabarito Alternativa D
No sistema Francês (Price), a prestação é PMT = 6.392,13 e a amortização da 1ª prestação é A1 = 3.992,13; logo, os juros da 1ª prestação são J1 = 6.392,13 − 3.992,13 = 2.400,00 = i·PV. No SAC (amortização constante A = PV/12), a 7ª prestação vale A + i·(PV − 6A) = A·(1 + 6i); como essa prestação equivale a 124% da amortização, 1 + 6i = 1,24 ⟹ i = 4% a.m. Substituindo, PV = 2.400/0,04 = R$ 60.000,00 (e A = 5.000,00, o que confere com a amortização do Francês). No sistema Misto (SAM), a prestação de cada período é a média aritmética entre a prestação do SAC e a do Francês para o mesmo período. A 1ª prestação do SAC é A + i·PV = 5.000 + 2.400 = 7.400,00; a 1ª prestação do Francês é 6.392,13. A prestação do SAM é (7.400,00 + 6.392,13)/2 = 6.896,065 ≈ R$ 6.896,00.
- (A) Incorreta: R$ 6.589,00 não corresponde à média entre a 1ª prestação do SAC (R$ 7.400,00) e a do sistema Francês (R$ 6.392,13).
- (B) Incorreta: R$ 6.698,00 também não bate com a média exata de R$ 6.896,00 apurada para o SAM.
- (C) Incorreta: R$ 6.769,00 fica abaixo do valor correto de R$ 6.896,00.
- (D) Correta: a prestação do SAM é a média aritmética das prestações do SAC (R$ 7.400,00) e do Francês (R$ 6.392,13) no 1º mês, resultando em aproximadamente R$ 6.896,00.
- (E) Incorreta: R$ 6.987,00 supera o valor correto de R$ 6.896,00.
Fonte: FGV Sefaz-MT 2023 - Manhã Fiscal de Tributos Estaduais (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.
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