Questão de Economia e Matemática Financeira · FGV SEFAZ-MG 2022 - Manhã (nº 78)

Para resolver este problema de quitação antecipada, precisamos primeiro calcular o valor de cada prestação e, em seguida, o valor presente das prestações restantes no momento da quitação. O conceito-chave é o valor presente de uma série de pagamentos futuros (uma anuidade), que nos diz quanto essa série de pagamentos vale hoje, descontando os juros.

1. Cálculo do valor da prestação (PMT):
O empréstimo de R$ 92.820,00 é o valor presente (PV) de uma anuidade de 4 prestações anuais iguais, com taxa de juros de 10% a.a.
A fórmula do valor presente de uma anuidade é:
$PV = PMT \times \left[ \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \right]$
Onde:
$PV = 92.820,00$
$i = 10\% = 0,10$
$n = 4$
$(1+i)^{-n} = (1,1)^{-4} = 1/1,1^4 = 1/1,4641 \approx 0,682965644$

Substituindo na fórmula:
$92820 = PMT \times \left[ \frac{1 - 0,682965644}{0,10} \right]$
$92820 = PMT \times \left[ \frac{0,317034356}{0,10} \right]$
$92820 = PMT \times 3,17034356$
$PMT = \frac{92820}{3,17034356} = 29282,00$
Cada prestação anual é de R$ 29.282,00.

2. Cálculo do pagamento único na quitação antecipada:
O devedor paga a segunda prestação e, no mesmo momento, decide antecipar todas as futuras prestações. Isso significa que o "pagamento único" inclui:

• A segunda prestação (que está sendo paga na data).
• O valor presente das prestações restantes (a 3ª e a 4ª), descontadas para o momento do pagamento da 2ª prestação.

As prestações restantes são a 3ª e a 4ª. No momento do pagamento da 2ª prestação (final do 2º ano), a 3ª prestação está a 1 ano de distância e a 4ª prestação está a 2 anos de distância.
O valor presente dessas duas prestações no final do 2º ano é:
$PV_{restantes} = PMT \times (1+i)^{-1} + PMT \times (1+i)^{-2}$
$PV_{restantes} = 29282 \times (1,1)^{-1} + 29282 \times (1,1)^{-2}$
$PV_{restantes} = 29282 \times (1/1,1 + 1/1,21)$
$PV_{restantes} = 29282 \times (0,909090909... + 0,826446281...)$
$PV_{restantes} = 29282 \times 1,73553719$
$PV_{restantes} = 50820,00$

O pagamento único para quitar a dívida nessa data será a soma da 2ª prestação com o valor presente das prestações restantes:
Pagamento Único = $PMT + PV_{restantes}$
Pagamento Único = $29282,00 + 50820,00 = 80102,00$

Comentário das alternativas:

(A) Incorreta: Não corresponde aos cálculos de valor presente das prestações restantes ou do pagamento total.
(B) Incorreta: Não corresponde aos cálculos de valor presente das prestações restantes ou do pagamento total.
(C) Incorreta: Não corresponde aos cálculos de valor presente das prestações restantes ou do pagamento total.
(D) Correta: O pagamento único é a soma da prestação devida no momento (a segunda) com o valor presente das prestações futuras (a terceira e a quarta), descontadas para o momento da quitação.
(E) Incorreta: Não corresponde aos cálculos de valor presente das prestações restantes ou do pagamento total.