Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-MG 2022 - Manhã (nº 11)

O número de elementos na união de conjuntos é a soma dos elementos de cada conjunto, subtraindo as interseções de dois em dois (para não contar duas vezes) e somando a interseção de todos (porque foi subtraída demais).

Passo a passo da resolução:

1. Interpretar $A - (B \cup C)$: Este termo representa os elementos que estão apenas no conjunto A, ou seja, não estão em B nem em C.
   Sabemos que $|A| = 16$ e $|A - (B \cup C)| = 8$.
   Isso significa que os elementos de A que também estão em B ou C (ou ambos) são $|A| - |A - (B \cup C)| = 16 - 8 = 8$.
   Portanto, $|A \cap (B \cup C)| = 8$.

2. Calcular $|A \cap C|$: A interseção de A com a união de B e C pode ser escrita como $|(A \cap B) \cup (A \cap C)|$.
   Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos:
   $|(A \cap B) \cup (A \cap C)| = |A \cap B| + |A \cap C| - |(A \cap B) \cap (A \cap C)|$
   Note que $(A \cap B) \cap (A \cap C)$ é o mesmo que $A \cap B \cap C$.
   Substituindo os valores conhecidos:
   $8 = 5 + |A \cap C| - 3$
   $8 = 2 + |A \cap C|$
   |A \cap C| = 6\

3. Aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão para $A \cup B \cup C$:
   A fórmula geral para a união de três conjuntos é:
   $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$
   Substituindo todos os valores (incluindo o $|A \cap C|=6$ que calculamos):
   $|A \cup B \cup C| = 16 + 24 + 18 - 5 - 6 - 7 + 3$
   $|A \cup B \cup C| = 58 - (5 + 6 + 7) + 3$
   $|A \cup B \cup C| = 58 - 18 + 3$
   $|A \cup B \cup C| = 40 + 3$
   $|A \cup B \cup C| = 43$

• (A) Incorreta: 35. A armadilha pode ser a de somar apenas os elementos que estão exclusivamente em cada conjunto e a interseção tripla, esquecendo de incluir os elementos que estão em exatamente dois conjuntos. Calculando as partes exclusivas: $|A_{apenas}| = 8$; $|B_{apenas}| = |B| - (|A \cap B| - |A \cap B \cap C|) - (|B \cap C| - |A \cap B \cap C|) - |A \cap B \cap C| = 24 - (5-3) - (7-3) - 3 = 24 - 2 - 4 - 3 = 15$; $|C_{apenas}| = |C| - (|A \cap C| - |A \cap B \cap C|) - (|B \cap C| - |A \cap B \cap C|) - |A \cap B \cap C| = 18 - (6-3) - (7-3) - 3 = 18 - 3 - 4 - 3 = 8$. Somando $8+15+8+3 = 34$. Um pequeno erro aritmético poderia levar a 35.
• (B) Correta: 43. O valor é obtido aplicando corretamente o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos, após calcular a interseção $|A \cap C|$ que não foi fornecida diretamente.
• (C) Incorreta: 47. Pode ser resultado de um erro aritmético no cálculo final, por exemplo, se o aluno calculou $40 (que é \58-18$) e, em vez de somar 3, somou 7 (que é$|B \cap C|), resultando em \40+7=47$.
• (D) Incorreta: 48. Pode ser um erro aritmético, como somar um valor extra no cálculo final. Por exemplo, se o aluno calculou $43$e adicionou 5 (que é$|A \cap B|), resultando em \43+5=48$.
• (E) Incorreta: 58. A armadilha aqui é somar simplesmente o número de elementos de cada conjunto ($|A| + |B| + |C|$), ignorando completamente as interseções e, portanto, contando elementos múltiplos vezes.