Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-BA 2022 (nº 70)

Para resolver problemas de contagem como este, precisamos identificar todas as formas possíveis de agrupar os elementos (neste caso, as pessoas) de acordo com as regras dadas (individualmente ou em dupla), e depois somar o número de maneiras para cada forma de agrupamento.

• (A) Incorreta: Este valor considera apenas uma parte dos agrupamentos possíveis, como a formação de uma única dupla, ignorando os outros cenários.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde à soma correta de todos os agrupamentos válidos.
• (C) Incorreta: A armadilha aqui é esquecer de considerar o cenário onde todas as pessoas escolhem trabalhar individualmente, que é uma forma válida de agrupamento e conta como 1 modo diferente. Se somarmos apenas os casos com duplas (6 + 3 = 9), chegamos a este valor.
• (D) Correta: Existem 3 formas distintas de agrupar as 4 pessoas:
  1. Todas trabalham individualmente: (P1), (P2), (P3), (P4). Há 1 modo.
  2. Uma dupla e duas pessoas individuais: Escolhemos 2 pessoas entre 4 para formar a dupla, o que pode ser feito de $C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ modos. As outras duas trabalham individualmente. Ex: (P1,P2), (P3), (P4). Há 6 modos.
  3. Duas duplas: Escolhemos 2 pessoas entre 4 para a primeira dupla ($C(4,2)=6$ modos). Das 2 restantes, escolhemos 2 para a segunda dupla ($C(2,2)=1$ modo). Como a ordem das duplas não importa (ex: (P1,P2) e (P3,P4) é o mesmo que (P3,P4) e (P1,P2)), dividimos por 2! (o número de maneiras de ordenar as duas duplas). Então, $(C(4,2) \times C(2,2)) / 2! = (6 \times 1) / 2 = 3$ modos. Ex: (P1,P2), (P3,P4). Há 3 modos.
     Somando todos os modos: $1 + 6 + 3 = 10$ modos diferentes.
• (E) Incorreta: Este valor resultaria de algum erro de cálculo ou de considerar cenários inválidos, como não dividir por 2! no caso de duas duplas, o que levaria a 1+6+6=13, que também não é 12.