Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV SEE-MG 2023 (nº 15)

Para comparar as áreas de dois triângulos que compartilham um ângulo, usamos a fórmula da área que envolve dois lados e o seno do ângulo entre eles: a razão das áreas será o produto das razões dos lados que formam esse ângulo.

• (A) Correta: A razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 9,00. Os triângulos ABC e ADE compartilham o ângulo A. A área de um triângulo é dada por $(1/2) \cdot lado_1 \cdot lado_2 \cdot \sin(\text{ângulo})$. Assim, $\text{Área(ABC)} = (1/2) \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A)$ e $\text{Área(ADE)} = (1/2) \cdot AE \cdot AD \cdot \sin(A)$. A razão $\text{Área(ABC)} / \text{Área(ADE)} = (AB \cdot AC) / (AE \cdot AD)$.
  A condição $CD = 2AD$ significa que $AC = AD + CD = AD + 2AD = 3AD$, então $AC/AD = 3$.
  A condição $BE = 2AE$ significa que $AB = AE + BE = AE + 2AE = 3AE$, então $AB/AE = 3$.
  Substituindo na razão das áreas: $\text{Área(ABC)} / \text{Área(ADE)} = (AC/AD) \cdot (AB/AE) = 3 \cdot 3 = 9$.
• (B) Incorreta: O valor 4,00 seria obtido se o aluno interpretasse incorretamente as relações $CD=2AD$ e $BE=2AE$ como se D e E fossem os pontos médios dos lados AC e AB, respectivamente (ou seja, $AD = (1/2)AC$ e $AE = (1/2)AB$). Nesse caso, $AC/AD = 2$ e $AB/AE = 2$, resultando em uma razão de áreas de $2 \cdot 2 = 4$. Essa é a armadilha da banca, pois a interpretação correta é que $AD = (1/3)AC$ e $AE = (1/3)AB$.
• (C) Incorreta: O valor 2,25 seria obtido se o aluno pensasse que $AD = (2/3)AC$ e $AE = (2/3)AB$. Nesse caso, $AC/AD = 3/2 = 1,5$ e $AB/AE = 3/2 = 1,5$, resultando em uma razão de áreas de $1,5 \cdot 1,5 = 2,25$.
• (D) Incorreta: O valor 2,00 seria obtido se o aluno usasse apenas uma das razões de comprimento (por exemplo, a razão 2 dos segmentos $CD=2AD$) ou se confundisse a razão de áreas com uma razão linear simples.