Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV SEE-MG 2023 (nº 11)

A união de conjuntos ($A \cup B \cup C$) é o conjunto que contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos. Para contar o número de elementos em uma união de conjuntos, usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para evitar contar elementos repetidos.

Primeiro, listamos os elementos de cada conjunto e suas interseções:

• $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}$, então $|A| = 9$.
• $B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27\}$, então $|B| = 9$.
• $C = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36\}$, então $|C| = 9$.

Agora, as interseções de dois conjuntos:

• $A \cap B$ (múltiplos de 6, menores que 20): $\{6, 12, 18\}$, então $|A \cap B| = 3$.
• $A \cap C$ (múltiplos de 4, menores que 20): $\{4, 8, 12, 16\}$, então $|A \cap C| = 4$.
• $B \cap C$ (múltiplos de 12, menores que 30): $\{12, 24\}$, então $|B \cap C| = 2$.

Por fim, a interseção dos três conjuntos:

• $A \cap B \cap C$ (múltiplos de 12, menores que 20): $\{12\}$, então $|A \cap B \cap C| = 1$.

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos:
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
$|A \cup B \cup C| = 9 + 9 + 9 - (3 + 4 + 2) + 1$
$|A \cup B \cup C| = 27 - 9 + 1$
$|A \cup B \cup C| = 18 + 1 = 19$.

(A) Incorreta: O valor 15 resultaria de erros de cálculo na aplicação do Princípio da Inclusão-Exclusão ou na determinação dos elementos dos conjuntos.
(B) Correta: O número de elementos é 19, conforme calculado pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, que considera os elementos únicos em cada conjunto e remove as contagens duplicadas das interseções.
(C) Incorreta: O valor 23 não corresponde ao cálculo correto. Poderia ser um erro ao subtrair as interseções de dois conjuntos e não adicionar a interseção dos três conjuntos, ou outros erros de cálculo.
(D) Incorreta: A armadilha aqui é simplesmente somar o número de elementos de cada conjunto ($9+9+9=27$), ignorando completamente que existem elementos que pertencem a mais de um conjunto e, portanto, seriam contados múltiplas vezes.