Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 22)

Para que círculos de raio $r$ estejam totalmente dentro de um quadrado de lado $L$, seus centros não podem estar a uma distância menor que $r$ de qualquer lado do quadrado. Além disso, para que não se sobreponham, a distância mínima entre os centros de dois círculos é igual à soma dos seus raios (se forem tangentes).

1. Restrição de posicionamento dos centros:

   • O quadrado tem lado $L=8$. Os círculos têm raio $r=1$.
   • Para que um círculo esteja totalmente dentro do quadrado, seu centro $(x, y)$ deve satisfazer: $r \le x \le L-r$ e $r \le y \le L-r$.
   • Substituindo os valores: $1 \le x \le 8-1 \implies 1 \le x \le 7$. E $1 \le y \le 8-1 \implies 1 \le y \le 7$.
   • Os centros dos círculos estão sobre uma diagonal do quadrado. Vamos considerar a diagonal que vai de $(0,0)$ a $(8,8)$, cuja equação é $y=x$.
   • Portanto, os centros devem estar na diagonal e ter coordenadas $x$ (e $y$) entre 1 e 7. Isso significa que os centros devem estar no segmento da diagonal que vai de $(1,1)$ a $(7,7)$.

2. Distância entre os centros:

   • Para que dois círculos não se sobreponham, a distância entre seus centros deve ser de pelo menos $2r = 2 \times 1 = 2$.
   • Se os centros são $C_i=(x_i, x_i)$ e $C_j=(x_j, x_j)$, a distância entre eles é $\sqrt{(x_i-x_j)^2 + (x_i-x_j)^2} = \sqrt{2(x_i-x_j)^2} = |x_i-x_j|\sqrt{2}$.
   • Assim, $|x_i-x_j|\sqrt{2} \ge 2$.
   • Dividindo por $\sqrt{2}$, obtemos $|x_i-x_j| \ge \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
   • Isso significa que as coordenadas $x$ (e $y$) dos centros devem estar separadas por pelo menos $\sqrt{2}$.

3. Cálculo do número máximo de círculos:

   • Para maximizar o número de círculos, colocamos o primeiro centro na menor coordenada $x$ possível e os demais centros com a menor distância possível entre si.
   • Primeiro centro ($C_1$): $x_1 = 1$. (Coordenadas $(1,1)$).
   • Segundo centro ($C_2$): $x_2 = x_1 + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2}$.
   • Terceiro centro ($C_3$): $x_3 = x_2 + \sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2}$.
   • Quarto centro ($C_4$): $x_4 = x_3 + \sqrt{2} = 1 + 3\sqrt{2}$.
   • Quinto centro ($C_5$): $x_5 = x_4 + \sqrt{2} = 1 + 4\sqrt{2}$.
   • Vamos verificar se a coordenada $x$ do quinto centro ainda está dentro do limite $x \le 7$:
     • $1 + 4\sqrt{2} \approx 1 + 4 \times 1.414 = 1 + 5.656 = 6.656$. Este valor é $\le 7$, então o quinto círculo pode ser colocado.
   • Vamos tentar um sexto centro ($C_6$): $x_6 = x_5 + \sqrt{2} = 1 + 5\sqrt{2}$.
     • $1 + 5\sqrt{2} \approx 1 + 5 \times 1.414 = 1 + 7.07 = 8.07$. Este valor é $> 7$, o que significa que o sexto círculo não estaria totalmente dentro do quadrado.

   Portanto, o número máximo de círculos é 5.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria possível se o raio fosse 0.5 e os círculos fossem alinhados ao longo de um lado do quadrado (8 círculos de diâmetro 1 caberiam em um lado de 8).
• (B) Incorreta: Não há um raciocínio direto que leve a 7 círculos com as condições dadas.
• (C) Incorreta: Armadilha da banca: Uma armadilha comum seria considerar o comprimento total da diagonal ($8\sqrt{2} \approx 11.31$) e dividi-lo pelo diâmetro dos círculos ($2r=2$), obtendo$11.31/2 \approx 5.65$. Se arredondado para cima, daria 6. No entanto, essa abordagem ignora as margens de$r=1$ que cada círculo precisa ter em relação aos lados do quadrado, o que restringe o espaço efetivo para os centros na diagonal.
• (D) Correta: Conforme demonstrado, o número máximo de círculos é 5. A análise correta considera a restrição de que os círculos devem estar totalmente dentro do quadrado (limitando as coordenadas dos centros entre 1 e 7) e a distância mínima entre os centros na diagonal ($|x_i-x_j| \ge \sqrt{2}$).
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se a distância mínima entre as coordenadas $x$ dos centros fosse erroneamente considerada como $2r=2$(em vez de$\sqrt{2}$). Nesse caso, os centros seriam$x_1=1, x_2=3, x_3=5, x_4=7$. O próximo seria$x_5=9$, que excede o limite de 7. Assim, resultaria em 4 círculos.