Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 23)

O conceito-chave aqui é a permutação com repetição e a ideia de tratar grupos de elementos como um único "bloco". Quando elementos devem ficar juntos, eles formam um bloco que pode ser permutado internamente e também como uma unidade com outros blocos.

DEMOCRACIA tem 10 letras.
Vogais (V): E, O, A, I, A (5 vogais, sendo 'A' repetida 2 vezes)
Consoantes (C): D, M, C, R, C (5 consoantes, sendo 'C' repetida 2 vezes)

1. Agrupar as vogais e as consoantes: Como todas as vogais devem ficar juntas e todas as consoantes também, formamos dois "blocos": um bloco de vogais (VVVVV) e um bloco de consoantes (CCCCC).
2. Permutar os blocos: Temos 2 blocos. Eles podem ser arranjados de $2!$maneiras (bloco de vogais seguido do bloco de consoantes, ou vice-versa).$2! = 2 \times 1 = 2$.
3. Permutar as letras dentro do bloco de vogais: As vogais são E, O, A, I, A. São 5 vogais, com a letra 'A' repetida 2 vezes. O número de permutações é $\frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60$.
4. Permutar as letras dentro do bloco de consoantes: As consoantes são D, M, C, R, C. São 5 consoantes, com a letra 'C' repetida 2 vezes. O número de permutações é $\frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60$.
5. Calcular o total de anagramas: Multiplicamos as possibilidades de cada etapa: $2! \times \frac{5!}{2!} \times \frac{5!}{2!} = 2 \times 60 \times 60 = 7200$.

(A) Incorreta: 3600 resultaria se você esquecesse de multiplicar por 2 (os $2!$arranjos dos blocos de vogais e consoantes). Essa é a armadilha mais comum: calcular as permutações internas dos blocos, mas esquecer de permutar os próprios blocos. **(B) Incorreta:** 4800 não corresponde a nenhuma etapa ou erro comum neste tipo de cálculo. **(C) Correta:** O cálculo$2! \times \frac{5!}{2!} \times \frac{5!}{2!} = 2 \times 60 \times 60 = 7200$ está correto, considerando a permutação dos dois blocos e a permutação interna de cada bloco com suas repetições.
(D) Incorreta: 12300 não corresponde a nenhuma etapa ou erro comum neste tipo de cálculo.
(E) Incorreta: 14400 seria o dobro do resultado correto, como se houvesse mais um fator de 2 em alguma parte do cálculo.