Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 21)

Para comparar opções de pagamento que acontecem em momentos diferentes, precisamos usar o conceito de valor do dinheiro no tempo. Isso significa que um valor recebido hoje vale mais do que o mesmo valor recebido no futuro, por causa dos juros (ou rendimento). Para comparar, trazemos todos os valores para o valor presente (hoje) ou para o valor futuro (em uma data específica no futuro).

Cálculo:
O objetivo de Lionel é que a opção a prazo seja preferível, ou seja, o valor presente do pagamento a prazo deve ser menor ou igual ao valor presente do pagamento à vista.

1. Valor à vista: R$ 80.000 (já está no valor presente).
2. Valor a prazo: É composto por uma entrada ($E$) e duas prestações iguais ($P$), uma após 1 ano e outra após 2 anos. A soma nominal dessas parcelas é R$ 120.000, ou seja, $E + P + P = 120.000 \implies E + 2P = 120.000$.
3. Taxa de rendimento: 50% ao ano ($i = 0,50$).
4. Valor Presente da opção a prazo ($VP_{prazo}$):
   $VP_{prazo} = E + \frac{P}{(1+i)^1} + \frac{P}{(1+i)^2}$
   $VP_{prazo} = E + \frac{P}{1,5} + \frac{P}{(1,5)^2}$
   $VP_{prazo} = E + \frac{P}{1,5} + \frac{P}{2,25}$
   $VP_{prazo} = E + \frac{2}{3}P + \frac{4}{9}P$
   $VP_{prazo} = E + \left(\frac{6}{9} + \frac{4}{9}\right)P$
   VP_{prazo} = E + \frac{10}{9}P\
5. Condição para ser preferível: $VP_{prazo} \le VP_{vista}$
   E + \frac{10}{9}P \le 80.000\
6. Substituir $P$: Sabemos que $2P = 120.000 - E \implies P = \frac{120.000 - E}{2}$.
   $E + \frac{10}{9} \left(\frac{120.000 - E}{2}\right) \le 80.000$
   $E + \frac{5}{9} (120.000 - E) \le 80.000$
   Multiplicar tudo por 9 para eliminar o denominador:
   $9E + 5(120.000 - E) \le 9 \times 80.000$
   $9E + 600.000 - 5E \le 720.000$
   $4E + 600.000 \le 720.000$
   $4E \le 720.000 - 600.000$
   $4E \le 120.000$
   $E \le \frac{120.000}{4}$
   $E \le 30.000$
   O valor máximo da entrada que Lionel deve pagar é R$ 30.000.

• (A) Incorreta: Uma entrada de 60 mil reais tornaria o valor presente da opção a prazo maior que 80 mil reais, não sendo preferível.
• (B) Incorreta: Uma entrada de 50 mil reais tornaria o valor presente da opção a prazo maior que 80 mil reais, não sendo preferível.
• (C) Incorreta: Uma entrada de 40 mil reais tornaria o valor presente da opção a prazo maior que 80 mil reais, não sendo preferível.
• (D) Correta: O cálculo demonstra que para a opção a prazo ser preferível (ter um valor presente menor ou igual ao valor à vista), a entrada máxima deve ser de 30 mil reais. Se a entrada for 30 mil, as prestações serão $P = (120.000 - 30.000)/2 = 45.000$. O valor presente seria $30.000 + \frac{45.000}{1,5} + \frac{45.000}{2,25} = 30.000 + 30.000 + 20.000 = 80.000$, que é igual ao valor à vista, tornando-a igualmente preferível.
• (E) Incorreta: Uma entrada de 20 mil reais tornaria o valor presente da opção a prazo menor que 80 mil reais, sendo preferível, mas a questão pede o valor máximo da entrada.