Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 34)

O conceito-chave aqui são os produtos telescópicos, que são multiplicações de termos onde a maioria dos numeradores e denominadores se cancelam, deixando apenas os primeiros e últimos termos da sequência.

Primeiro, simplificamos cada fator dos produtos $S$ e $D$:
Para $S$: $1+\frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$.
$S = \left(\frac{2+1}{2}\right)\left(\frac{3+1}{3}\right)\left(\frac{4+1}{4}\right)\ldots\left(\frac{2022+1}{2022}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2023}{2022}$.
Ao cancelar os termos (o numerador de uma fração com o denominador da próxima), obtemos $S = \frac{2023}{2}$.

Para $D$: $1-\frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
$D = \left(\frac{2-1}{2}\right)\left(\frac{3-1}{3}\right)\left(\frac{4-1}{4}\right)\ldots\left(\frac{2022-1}{2022}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2021}{2022}$.
Ao cancelar os termos (o numerador de uma fração com o denominador da anterior), obtemos $D = \frac{1}{2022}$.

Finalmente, calculamos o produto $SD$:
$SD = S \times D = \frac{2023}{2} \times \frac{1}{2022} = \frac{2023}{4044}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa resultaria se $S$ fosse $\frac{2023}{2022}$ e $D$ fosse 1, ou se houvesse um erro de cálculo na simplificação dos denominadores.
(B) Correta: O produto $S$ simplifica para $\frac{2023}{2}$ e o produto $D$ simplifica para $\frac{1}{2022}$, resultando em $SD = \frac{2023}{2} \times \frac{1}{2022} = \frac{2023}{4044}$.
(C) Incorreta: Esta é a recíproca da alternativa A, indicando um possível erro de inversão ou cálculo.
(D) Incorreta: Esta é a recíproca da resposta correta, uma armadilha comum para quem inverte a fração final por engano.
(E) Incorreta: Embora produtos telescópicos possam resultar em 1 em alguns casos (se os termos iniciais e finais também se cancelarem completamente), aqui $S = \frac{2023}{2}$ e $D = \frac{1}{2022}$, e seu produto não é 1. A armadilha é pensar que, por serem operações "opostas" (soma e subtração de 1/n), os produtos se cancelariam totalmente.