Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 35)

O conceito-chave para resolver este problema é que, para maximizar a pontuação de times empatados em primeiro lugar, eles devem vencer todas as partidas contra os times mais fracos e, nos jogos entre si, devem distribuir os pontos da forma mais eficiente para que cada um obtenha o máximo possível, mantendo o empate.

• Número de jogos por time: Cada um dos 10 times joga contra os outros 9 times, totalizando 9 jogos por time.
• Os 3 times empatados (T1, T2, T3):
  • Eles jogam 3 partidas entre si (T1 vs T2, T1 vs T3, T2 vs T3).
  • Cada um deles joga 7 partidas contra os outros 7 times (T4 a T10).

Para maximizar a pontuação de T1, T2 e T3:

1. Jogos contra os outros 7 times (T4 a T10): Para que T1, T2 e T3 tenham o máximo de pontos, eles devem vencer todas as 7 partidas que jogam contra os times T4 a T10.
   • Pontos de cada um dos 3 times nessas partidas: $7 \text{ vitórias} \times 3 \text{ pontos/vitória} = 21 \text{ pontos}$.
2. Jogos entre T1, T2 e T3: Para que eles fiquem empatados e maximizem seus pontos, o cenário ideal é um "ciclo de vitórias", onde cada time vence um dos outros e perde para o outro. Por exemplo:
   • T1 vence T2 (T1 ganha 3 pts, T2 ganha 0 pts)
   • T2 vence T3 (T2 ganha 3 pts, T3 ganha 0 pts)
   • T3 vence T1 (T3 ganha 3 pts, T1 ganha 0 pts)
   • Neste cenário, cada um dos 3 times (T1, T2, T3) obtém 3 pontos nos jogos entre si (1 vitória e 1 derrota).

Total de pontos para cada um dos 3 times:

• Pontos contra T4-T10: 21 pontos
• Pontos contra T1, T2, T3: 3 pontos
• Total: $21 + 3 = 24$ pontos.
  Cada um dos 3 times teria 8 vitórias (7 contra T4-T10 e 1 contra outro do top 3) e 1 derrota (contra outro do top 3).

A) Incorreta: 27 pontos seria o máximo que um único time poderia fazer se vencesse todas as suas 9 partidas. Se 3 times estão empatados em primeiro, eles não podem ter vencido todos os seus jogos, pois teriam jogado entre si e alguém teria que perder ou empatar. Esta é a armadilha mais comum, pois considera o máximo absoluto para um time isolado, e não para três times que se enfrentam.
B) Correta: Conforme a explicação acima, 24 pontos é o máximo que cada um dos 3 times pode atingir, vencendo 7 jogos contra os times mais fracos e ganhando 3 pontos nos jogos entre si (1 vitória e 1 derrota).
C) Incorreta: 22 pontos é um valor muito baixo, pois implicaria em mais empates ou derrotas do que o necessário para maximizar a pontuação. Por exemplo, 7 vitórias contra os outros times (21 pontos) e 1 empate nos jogos entre si (1 ponto), ou 6 vitórias e 1 empate contra os outros times (19 pontos) e 3 pontos nos jogos entre si.
D) Incorreta: 21 pontos seria o resultado de 7 vitórias e 2 derrotas, ou 6 vitórias e 3 empates, por exemplo. Se os times vencessem todos os 7 jogos contra os outros times (21 pontos) e perdessem todos os 2 jogos entre si, eles não estariam empatados. Se tivessem 7 vitórias e 2 empates, teriam 23 pontos.
E) Incorreta: 20 pontos é um valor muito baixo, implicando em um desempenho inferior ao máximo possível para times empatados em primeiro lugar.