Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 33)

O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus três lados. A área de um triângulo é calculada como (base $\times$ altura) / 2. O Teorema de Pitágoras nos diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado maior, oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os outros dois lados).

• 1. Identificar o tipo de triângulo e a área total:
  Os lados do triângulo ABC são 5, 12 e 13. Verificando o Teorema de Pitágoras: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. E $13^2 = 169$. Como $5^2 + 12^2 = 13^2$, o triângulo ABC é retângulo, com o ângulo reto em A (oposto ao lado BC, a hipotenusa).
  A área do triângulo ABC é (cateto1 $\times$ cateto2) / 2 = (AC $\times$ AB) / 2 = (5 \times\ 12) / 2 = 60 / 2 = 30.

• 2. Usar a condição dos perímetros iguais:
  O ponto D está sobre o lado BC.
  Perímetro do triângulo ABD = AB + BD + AD
  Perímetro do triângulo ACD = AC + CD + AD
  Como os perímetros são iguais: AB + BD + AD = AC + CD + AD
  Podemos subtrair AD de ambos os lados: AB + BD = AC + CD
  Substituindo os valores conhecidos: 12 + BD = 5 + CD

• 3. Relacionar os segmentos BD e CD:
  Sabemos que D está sobre BC, então BC = BD + CD.
  Como BC = 13, temos 13 = BD + CD, ou seja, CD = 13 - BD.

• 4. Encontrar o valor de BD:
  Substitua CD na equação dos perímetros:
  12 + BD = 5 + (13 - BD)
  12 + BD = 18 - BD
  2 $\times$ BD = 18 - 12
  2 $\times$ BD = 6
  BD = 3

• 5. Calcular a área do triângulo ABD:
  Os triângulos ABD e ABC compartilham a mesma altura em relação à base BC (ou a um segmento de BC). Essa altura é a distância de A até a linha BC.
  A área de um triângulo também pode ser calculada usando a proporção das bases quando a altura é comum.
  Área(ABD) / Área(ABC) = BD / BC
  Área(ABD) / 30 = 3 / 13
  Área(ABD) = 30 $\times$ (3 / 13)
  Área(ABD) = 90 / 13

  (Alternativamente, você poderia calcular a altura h de A até BC: Área(ABC) = (BC $\times$ h) / 2 \Rightarrow\ 30 = (13 $\times$ h) / 2 $\Rightarrow$ h = 60/13.
  Então, Área(ABD) = (BD $\times$ h) / 2 = (3 $\times$ (60/13)) / 2 = (180/13) / 2 = 90/13.)

• (A) Incorreta: 30 é a área total do triângulo ABC, não apenas do triângulo ABD. A armadilha aqui é calcular a área do triângulo maior e parar, esquecendo que a pergunta pede a área de uma parte dele.

• (B) Correta: A área do triângulo ABD é $\frac{90}{13}$, conforme calculado usando a condição dos perímetros para encontrar BD e, em seguida, a proporção das áreas ou a altura comum.

• (C) Incorreta: $\frac{15}{2}$ não corresponde a nenhum cálculo direto ou parte do problema. Pode ser resultado de algum erro de cálculo.

• (D) Incorreta: $\frac{25}{2}$ não corresponde a nenhum cálculo direto ou parte do problema. Pode ser resultado de algum erro de cálculo.

• (E) Incorreta: $\frac{60}{13}$ é a medida da altura do vértice A até o lado BC. É um valor intermediário importante, mas não a área do triângulo ABD.