Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 32)

A média ponderada de percentuais é um cálculo que usamos quando queremos encontrar um percentual final de um todo, mas esse todo é composto por partes que têm diferentes "pesos" (ou seja, representam diferentes proporções do total) e diferentes percentuais de acerto. Para calculá-la, multiplicamos o percentual de cada parte pelo seu peso (sua proporção no todo) e somamos os resultados.

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Entender a estrutura do trabalho:

   • 40% dos exercícios foram feitos por Amélia e Deise juntas.
   • 60% dos exercícios foram feitos por Amélia sozinha.
   • 60% dos exercícios foram feitos por Deise sozinha.
   • Isso significa que, para calcular o desempenho total de cada aluna, consideramos que 40% do total de exercícios foram feitos em grupo e 60% do total foram feitos individualmente por ela.

2. Calcular o percentual de acerto nos exercícios feitos juntas (usando os dados de Amélia):

   • Amélia acertou 75% dos exercícios que fez sozinha (que correspondem a 60% do total).
   • Amélia acertou 81% do total de exercícios.
   • Seja $P_J$ o percentual de acerto nos exercícios feitos juntas.
   • A média ponderada do acerto de Amélia é:
     $0.81 = (0.40 \times P_J) + (0.60 \times 0.75)$
     $0.81 = 0.40 P_J + 0.45$
     $0.81 - 0.45 = 0.40 P_J$
     $0.36 = 0.40 P_J$
     $P_J = \frac{0.36}{0.40} = 0.90$
   • Portanto, Amélia (e Deise) acertaram 90% dos exercícios que fizeram juntas.

3. Calcular o percentual de acerto total de Deise:

   • Deise acertou 85% dos exercícios que fez sozinha (que correspondem a 60% do total).
   • Sabemos que ela acertou 90% dos exercícios que fez juntas (que correspondem a 40% do total).
   • A média ponderada do acerto de Deise é:
     $P_{Deise\_Total} = (0.40 \times P_J) + (0.60 \times 0.85)$
     $P_{Deise\_Total} = (0.40 \times 0.90) + (0.60 \times 0.85)$
     $P_{Deise\_Total} = 0.36 + 0.51$
     $P_{Deise\_Total} = 0.87$
   • Deise acertou 87% do total de exercícios.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da média ponderada de Deise.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da média ponderada de Deise.
• (C) Incorreta: Esta é a porcentagem que Deise acertou apenas nos exercícios que fez sozinha. A armadilha aqui é confundir a parte com o todo; o aluno pode ser tentado a escolher este valor por ser um dado explícito e significativo (60% do total) do desempenho de Deise, ignorando a média ponderada com a parte feita em conjunto.
• (D) Correta: Conforme os cálculos da média ponderada, Deise acertou 87% do total de exercícios.
• (E) Incorreta: Esta é a porcentagem de acerto nos exercícios que foram feitos juntas por Amélia e Deise, não o total de Deise.