Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 31)

Para encontrar o número mínimo de algo em um problema com frações, o total deve ser um número inteiro que seja múltiplo dos denominadores das frações envolvidas.

(A) Incorreta: Se houvesse 1 bola rosa, teríamos $1 = \frac{7T}{15} - 10$, o que levaria a $T = \frac{165}{7}$. Como o número total de bolas (T) deve ser um número inteiro e múltiplo de 15 (para que as quantidades de bolas vermelhas e azuis sejam inteiras), 1 bola rosa não é possível. A armadilha aqui é tentar forçar R=1 sem verificar se o T resultante é válido e se as outras condições são atendidas.
(B) Incorreta: Se houvesse 2 bolas rosas, teríamos $2 = \frac{7T}{15} - 10$, o que levaria a $T = \frac{180}{7}$. Novamente, T não seria um número inteiro e múltiplo de 15, tornando 2 bolas rosas impossível.
(C) Incorreta: Se houvesse 3 bolas rosas, teríamos $3 = \frac{7T}{15} - 10$, o que levaria a $T = \frac{195}{7}$. T não seria um número inteiro e múltiplo de 15, portanto 3 bolas rosas não é uma opção válida.
(D) Correta: O número total de bolas (T) deve ser um múltiplo de 3 e 5, ou seja, um múltiplo de 15. As bolas vermelhas são T/3, as azuis são T/5 e as verdes são 10. As bolas rosas (R) são $T - \frac{T}{3} - \frac{T}{5} - 10$. Simplificando, $R = T - \frac{5T}{15} - \frac{3T}{15} - 10 = \frac{15T - 5T - 3T}{15} - 10 = \frac{7T}{15} - 10$. Para que R seja o mínimo e R $\ge 1$ (pelo menos uma bola de cada cor), testamos os múltiplos de 15 para T:

• Se T = 15, R = $\frac{7 \times 15}{15} - 10 = 7 - 10 = -3$ (impossível, pois o número de bolas não pode ser negativo).
• Se T = 30, R = $\frac{7 \times 30}{15} - 10 = 7 \times 2 - 10 = 14 - 10 = 4$.
  Este valor (R=4) é válido, pois 4 $\ge 1$. As outras quantidades também são válidas: Vermelhas = 30/3 = 10 ($\ge 1$), Azuis = 30/5 = 6 ($\ge 1$), Verdes = 10 ($\ge 1$). Como T=30 é o menor múltiplo de 15 que satisfaz todas as condições, 4 é o número mínimo de bolas rosas.
  (E) Incorreta: Se houvesse 5 bolas rosas, teríamos $5 = \frac{7T}{15} - 10$, o que levaria a $T = \frac{225}{7}$. T não seria um número inteiro e múltiplo de 15, portanto 5 bolas rosas não é uma opção válida. Além disso, já encontramos um número menor (4) que satisfaz todas as condições.