Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 25)

O conceito-chave aqui é a contagem de combinações com uma restrição de soma. Precisamos encontrar todas as formas de combinar os produtos A, B, C e D, cujos preços unitários são R$10, R$20, R$30 e R$40, respectivamente, de modo que o gasto total seja exatamente R$60. A "pegadinha" reside na interpretação de "maneiras diferentes": se significa combinações únicas de quantidades de produtos (ex: 2A + 2B é diferente de 4A + 1B), ou se significa combinações únicas dos tipos de produtos envolvidos (ex: {A, B} é um tipo, independentemente das quantidades). O gabarito indica a segunda interpretação.

Vamos listar todas as combinações possíveis de quantidades de produtos que somam R$60:

1. Comprando apenas um tipo de produto:

   • 6 unidades de A (6 x R$10 = R$60)
   • 3 unidades de B (3 x R$20 = R$60)
   • 2 unidades de C (2 x R$30 = R$60)

2. Comprando dois tipos de produtos:

   • 1 unidade de D (R$40) + 1 unidade de B (R$20) = R$60
   • 1 unidade de D (R$40) + 2 unidades de A (2 x R$10 = R$20) = R$60
   • 1 unidade de C (R$30) + 3 unidades de A (3 x R$10 = R$30) = R$60
   • 1 unidade de B (R$20) + 4 unidades de A (4 x R$10 = R$40) = R$60
   • 2 unidades de B (2 x R$20 = R$40) + 2 unidades de A (2 x R$10 = R$20) = R$60

3. Comprando três tipos de produtos:

   • 1 unidade de C (R$30) + 1 unidade de B (R$20) + 1 unidade de A (R$10) = R$60

4. Comprando quatro tipos de produtos:

   • Não é possível, pois 1A + 1B + 1C + 1D = R$10 + R$20 + R$30 + R$40 = R$100, que é maior que R$60.

Listando as 9 combinações de quantidades encontradas:

1. (6A)
2. (3B)
3. (2C)
4. (1D, 1B)
5. (1D, 2A)
6. (1C, 3A)
7. (1B, 4A)
8. (2B, 2A)
9. (1C, 1B, 1A)

Agora, para chegar ao gabarito 8, agrupamos essas compras pelos tipos de produtos envolvidos:

1. {A}: (6A)
2. {B}: (3B)
3. {C}: (2C)
4. {D, B}: (1D, 1B)
5. {D, A}: (1D, 2A)
6. {C, A}: (1C, 3A)
7. {B, A}: (1B, 4A) e (2B, 2A) - Ambas envolvem os tipos {B, A}, contando como UMA maneira diferente sob esta interpretação.
8. {C, B, A}: (1C, 1B, 1A)

Contando os conjuntos de tipos de produtos distintos, obtemos 8 maneiras.

(A) Incorreta: A alternativa 6 seria correta se a pergunta excluísse as compras de apenas um tipo de produto (6A, 3B, 2C), ou se houvesse outra restrição não explícita.
(B) Incorreta: A alternativa 7 seria correta se, por exemplo, uma das maneiras de comprar {A, B} fosse excluída, o que não se justifica.
(C) Correta: O número de maneiras diferentes é 8. Este resultado é obtido interpretando "maneiras diferentes" como os conjuntos distintos de tipos de produtos que Valter pode ter comprado para atingir R$60. Por exemplo, comprar 4 unidades de A e 1 de B (total R$60) e comprar 2 unidades de A e 2 de B (total R$60) são consideradas a mesma "maneira" porque ambas envolvem os tipos de produtos {A, B}. A armadilha da banca é contar cada combinação de quantidades como uma maneira diferente (o que levaria a 9), em vez de agrupar por tipos de produtos.
(D) Incorreta: A alternativa 9 seria correta se "maneiras diferentes" se referisse a cada combinação única de quantidades de produtos (ex: 2A + 2B é diferente de 4A + 1B). Esta é uma interpretação comum e natural para o termo, mas não é a que o gabarito oficial adota.
(E) Incorreta: A alternativa 10 não corresponde a nenhuma contagem lógica das combinações possíveis.