Questão de Matemática · FGV PMESP Soldado 2022 (nº 24)

Quando um número M deixa sempre o mesmo resto ao ser dividido por vários outros números, significa que se subtrairmos esse resto de M, o resultado será um múltiplo comum de todos esses divisores. Para encontrar o menor M, precisamos do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos divisores.

• (A) Correta: O problema diz que M dividido por 3, por 5, ou por 7, deixa sempre resto 2. Isso significa que M - 2 é um múltiplo comum de 3, 5 e 7. Para encontrar o menor M (maior que 2), primeiro calculamos o MMC de 3, 5 e 7. Como 3, 5 e 7 são números primos, o MMC deles é o produto: MMC(3, 5, 7) = 3 × 5 × 7 = 105.
  Então, M - 2 = 105. Logo, M = 105 + 2 = 107.
  O número 107 é o menor inteiro maior que 2 que satisfaz a condição (107/3 = 35 R 2; 107/5 = 21 R 2; 107/7 = 15 R 2).
  A questão pede a soma dos algarismos de M. A soma dos algarismos de 107 é 1 + 0 + 7 = 8.

• (B) Incorreta: Esta alternativa seria a resposta se M fosse, por exemplo, 108 (1+0+8=9), mas 108 não deixa resto 2 em todas as divisões (108/3 = 36 R 0). É um distrator para quem erra o cálculo de M ou a soma dos algarismos.

• (C) Incorreta: Esta alternativa seria a resposta se M fosse, por exemplo, 109 (1+0+9=10), mas 109 não deixa resto 2 em todas as divisões (109/3 = 36 R 1). É um distrator para quem erra o cálculo de M ou a soma dos algarismos.

• (D) Incorreta: Esta alternativa seria a resposta se M fosse, por exemplo, 111 (1+1+1=3) ou 120 (1+2+0=3), mas nenhum deles satisfaz as condições do resto. É um distrator para quem erra o cálculo de M ou a soma dos algarismos.

• (E) Incorreta: Esta alternativa seria a resposta se M fosse, por exemplo, 150 (1+5+0=6), mas 150 não deixa resto 2 em todas as divisões. É um distrator para quem erra o cálculo de M ou a soma dos algarismos. A armadilha da banca aqui é que, se o aluno calculasse apenas o MMC (105) e por engano somasse seus algarismos (1+0+5=6), ou se esquecesse de adicionar o resto 2, ele não chegaria a nenhuma das alternativas, mas poderia se confundir com outros números. O erro mais comum é esquecer de somar o resto ao MMC, ou esquecer que o problema pede a soma dos algarismos de M, e não o próprio M.