Questão de Raciocínio Lógico · FGV PM-PB 2021 (nº 16)

A probabilidade é a medida da chance de um evento acontecer, calculada dividindo o número de resultados favoráveis (aqueles que atendem à condição desejada) pelo número total de resultados possíveis.

• Conjunto dado: $S = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
• Número de elementos no conjunto: 7.
• Ação: Sortear dois elementos, aleatoriamente e sem reposição. Isso significa que os dois números escolhidos devem ser diferentes.

1. Calcular o número total de resultados possíveis:
Como a ordem dos números sorteados não importa para a soma (ex: $1+2 é o mesmo que \2+1$), usamos a fórmula de combinações. O número total de maneiras de escolher 2 elementos de um conjunto de 7 é dado por$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
Portanto, há 21 pares distintos que podem ser sorteados.

2. Calcular o número de resultados favoráveis:
Queremos que a soma dos dois números sorteados seja positiva (ou seja, maior que zero). Vamos listar os pares distintos $(a, b)$ onde $a < b$ para evitar repetições e garantir que são elementos diferentes, e verificar suas somas:

• Pares com -3:
  • $-3 + (-2) = -5$ (negativa)
  • $-3 + (-1) = -4$ (negativa)
  • $-3 + 0 = -3$ (negativa)
  • $-3 + 1 = -2$ (negativa)
  • $-3 + 2 = -1$ (negativa)
  • $-3 + 3 = 0$ (não positiva)
• Pares com -2: (já consideramos com -3)
  • $-2 + (-1) = -3$ (negativa)
  • $-2 + 0 = -2$ (negativa)
  • $-2 + 1 = -1$ (negativa)
  • $-2 + 2 = 0$ (não positiva)
  • $-2 + 3 = 1$ (positiva!) -> 1 par: $(-2, 3)$
• Pares com -1: (já consideramos com -3, -2)
  • $-1 + 0 = -1$ (negativa)
  • $-1 + 1 = 0$ (não positiva)
  • $-1 + 2 = 1$ (positiva!) -> 1 par: $(-1, 2)$
  • $-1 + 3 = 2$ (positiva!) -> 1 par: $(-1, 3)$
• Pares com 0: (já consideramos com -3, -2, -1)
  • $0 + 1 = 1$(**positiva!**) -> 1 par:$(0, 1)$
  • $0 + 2 = 2$(**positiva!**) -> 1 par:$(0, 2)$
  • $0 + 3 = 3$(**positiva!**) -> 1 par:$(0, 3)$
• Pares com 1: (já consideramos com -3, -2, -1, 0)
  • $1 + 2 = 3$(**positiva!**) -> 1 par:$(1, 2)$
  • $1 + 3 = 4$(**positiva!**) -> 1 par:$(1, 3)$
• Pares com 2: (já consideramos com -3, -2, -1, 0, 1)
  • $2 + 3 = 5$(**positiva!**) -> 1 par:$(2, 3)$

Contando os pares com soma positiva: $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$ pares.
Portanto, há 9 resultados favoráveis.

3. Calcular a probabilidade:
Probabilidade = (Número de resultados favoráveis) / (Número total de resultados possíveis)
Probabilidade = $9 / 21$

Simplificando a fração: $9/21 = (3 \times 3) / (3 \times 7) = 3/7$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa ($1/7$) representaria apenas 3 resultados favoráveis, o que não corresponde à nossa contagem.
• (B) Incorreta: Esta alternativa ($2/7$) representaria 6 resultados favoráveis. Isso aconteceria se o aluno considerasse apenas pares onde ambos os números são positivos, ou um é zero e o outro positivo (ex:$(0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3)$). A armadilha da banca aqui é fazer o aluno esquecer que um número negativo e um positivo podem resultar em uma soma positiva (ex:$-2+3=1$).
• (C) Correta: A probabilidade é de $3/7$, pois há 9 pares cuja soma é positiva, de um total de 21 pares possíveis.
• (D) Incorreta: Esta alternativa ($4/7$) representaria 12 resultados favoráveis. A armadilha da banca aqui é se o aluno confundir "soma positiva" com "soma não negativa", incluindo os pares cuja soma é zero (ex:$(-3,3), (-2,2), (-1,1)undefined9+3=12 pares, resultando em \12/21 = 4/7$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa ($5/7$) representaria 15 resultados favoráveis, o que não corresponde à nossa contagem.