Questão de Raciocínio Lógico · FGV PM-CE 2021 (nº 18)

Para resolver problemas com grupos de pessoas e suas preferências, usamos a ideia de conjuntos. Um conjunto é uma coleção de elementos. A união de dois conjuntos (A ou B) inclui tudo o que está em A, ou em B, ou em ambos. A interseção (A e B) é o que está nos dois ao mesmo tempo. O complemento (nem A nem B) é o que não está em nenhum dos dois.

Dados:
Total de soldados = 120
Gostam de futebol (F) = 70
Gostam de dançar (D) = 60

A fórmula para a união de dois conjuntos é: $|F \cup D| = |F| + |D| - |F \cap D|$.
O número de soldados que não gostam de futebol nem de dançar é: $120 - |F \cup D|$.

Vamos analisar os limites para a interseção ($|F \cap D|$):

1. Mínimo de interseção: Ocorre quando a união é máxima. A união máxima é o total de soldados (120), se todos gostarem de pelo menos uma coisa.
   $120 = 70 + 60 - |F \cap D|$
   $120 = 130 - |F \cap D|$
   $|F \cap D| = 130 - 120 = 10$.
   Então, no mínimo 10 soldados gostam de futebol e de dançar.

2. Máximo de interseção: Ocorre quando um conjunto está contido no outro. O máximo de pessoas que gostam de ambos é limitado pelo menor grupo, que é 60 (os que gostam de dançar). Se todos os 60 que gostam de dançar também gostarem de futebol, a interseção é 60.
   Então, no máximo 60 soldados gostam de futebol e de dançar.
   Conclusão para interseção: $10 \le |F \cap D| \le 60$.

Agora, vamos analisar os limites para quem não gosta de nada ($N = 120 - |F \cup D|$):

1. Mínimo de "nem um nem outro": Ocorre quando a união é máxima. Se $|F \cup D|_{max} = 120$, então $N_{min} = 120 - 120 = 0$.
   (Isso acontece quando $|F \cap D| = 10$, resultando em $|F \cup D| = 70 + 60 - 10 = 120$).

2. Máximo de "nem um nem outro": Ocorre quando a união é mínima. A união mínima acontece quando a interseção é máxima (60).
   $|F \cup D|_{min} = 70 + 60 - 60 = 70$.
   Então, $N_{max} = 120 - 70 = 50$.
   Conclusão para "nem um nem outro": $0 \le N \le 50$.

• (A) Incorreta: A afirmação "no máximo, 10 soldados gostam de futebol e de dançar" está errada, pois 10 é o mínimo de soldados que gostam de ambos, não o máximo (que é 60).
• (B) Correta: A afirmação "no máximo, 50 soldados não gostam de futebol nem de dançar" está correta. Calculamos que o número de soldados que não gostam de nenhuma das atividades varia de 0 a 50, sendo 50 o valor máximo possível.
• (C) Incorreta: A afirmação "no mínimo, 10 soldados não gostam de futebol nem de dançar" está errada, pois o mínimo de soldados que não gostam de nenhuma atividade é 0, não 10.
• (D) Incorreta: A afirmação "exatamente, 30 soldados gostam de futebol e de dançar" não pode ser concluída. Embora 30 esteja dentro do intervalo possível para a interseção ($10 \le |F \cap D| \le 60$), não temos informações suficientes para afirmar que o valor é exatamente 30.
• (E) Incorreta: A afirmação "no mínimo, 60 soldados gostam de futebol e de dançar" está errada, pois 60 é o máximo de soldados que gostam de ambos, não o mínimo (que é 10).