Questão de Matemática · FGV PCERJ 2021 (nº 30)

Para somar frações com denominadores diferentes, o primeiro passo é encontrar um denominador comum para todas elas. O mais eficiente é usar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores. Depois de somar os numeradores, o resultado deve ser simplificado até que o numerador ($a$) e o denominador ($b$) sejam primos entre si, ou seja, não tenham nenhum divisor em comum além de 1.

1. Encontrar o MMC dos denominadores (6, 8, 10):

   • Fatoração prima: $6 = 2 \times 3$, $8 = 2^3$, $10 = 2 \times 5$.
   • O MMC é o produto dos maiores expoentes de todos os fatores primos: $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

2. Converter as frações para o denominador comum 120:

   • Para $\frac{1}{6}$: $120 \div 6 = 20$. Então, $\frac{1 \times 20}{6 \times 20} = \frac{20}{120}$.
   • Para $\frac{3}{8}$: $120 \div 8 = 15$. Então, $\frac{3 \times 15}{8 \times 15} = \frac{45}{120}$.
   • Para $\frac{7}{10}$: $120 \div 10 = 12$. Então, $\frac{7 \times 12}{10 \times 12} = \frac{84}{120}$.

3. Somar as frações:

   • $\frac{20}{120} + \frac{45}{120} + \frac{84}{120} = \frac{20 + 45 + 84}{120} = \frac{149}{120}$.

4. Verificar se o numerador e o denominador são primos entre si:

   • Temos a fração $\frac{149}{120}$. Precisamos verificar se $a=149$ e $b=120$ são primos entre si.
   • Os fatores primos de 120 são 2, 3 e 5.
   • Testamos a divisibilidade de 149 por esses fatores:
     • 149 não é divisível por 2 (é ímpar).
     • A soma dos algarismos de 149 ($1+4+9=14$) não é divisível por 3.
     • 149 não termina em 0 ou 5.
   • Além disso, 149 é um número primo (pode-se verificar testando divisores primos até $\sqrt{149} \approx 12.2$, ou seja, 7 e 11, e 149 não é divisível por eles).
   • Como 149 é primo e não é um dos fatores primos de 120, 149 e 120 são, de fato, primos entre si.
   • Portanto, a fração $\frac{149}{120}$ já está na sua forma irredutível. Assim, $a = 149$ e $b = 120$.

5. Calcular $a+b$:

   • $a + b = 149 + 120 = 269$.

• (A) Incorreta: Resulta de um erro comum de iniciantes, como somar numeradores e denominadores separadamente ($1+3+7=11, \6+8+10=24, e depois \11+24=35$), o que não é o procedimento correto para somar frações.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao resultado da soma das frações.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao resultado da soma das frações.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao resultado da soma das frações.
• (E) Correta: O valor de $a+b$ é 269, obtido após somar as frações, encontrar a forma irredutível $\frac{149}{120}$ (onde $a=149$ e $b=120$ são primos entre si), e então somar $149+120$. A "pegadinha" aqui seria se a fração resultante não fosse irredutível e o aluno esquecesse de simplificá-la antes de identificar$a$e$b$, mas neste caso, a fração já é irredutível, tornando a verificação da coprimalidade um passo de confirmação.