Questão de Economia · FGV PCAM 2021 (nº 77)

Um estimador é uma fórmula usada para "adivinhar" um valor desconhecido de uma população (como a média $\mu$) a partir de uma amostra de dados. Um estimador é viesado se sua esperança matemática (o valor médio que ele assume em muitas amostras) não for igual ao parâmetro que ele busca estimar; para estimadores lineares da média $\hat{\mu} = c_1X_1 + c_2X_2 + ... + c_nX_n$, ele é não viesado se a soma dos coeficientes $c_i$ for igual a 1.

(A) Incorreta: A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, então $E[\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$, sendo um estimador não viesado.
(B) Incorreta: A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, então $E[\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_3] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$, sendo um estimador não viesado.
(C) Incorreta: A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$, então $E[\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{4}X_3] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{4}\mu = \mu$, sendo um estimador não viesado.
(D) Correta: A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Como a soma não é 1, $E[\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{2}X_3] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \frac{3}{2}\mu \neq \mu$, tornando-o um estimador viesado. A armadilha aqui é que, embora use mais dados, a ponderação excessiva faz com que a média esperada do estimador seja maior que a média real da população.
(E) Incorreta: O coeficiente é 1 (implícito), então $E[X_2] = \mu$, sendo um estimador não viesado.