Questão de Economia · FGV PCAM 2021 (nº 74)

Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo. Sua função densidade de probabilidade (PDF), $f(x)$, descreve a probabilidade relativa de que a variável assuma um determinado valor. Para que $f(x)$ seja uma PDF válida, a área total sob sua curva deve ser igual a 1. O valor esperado ($E[X]$) é a média ponderada de todos os valores possíveis da variável, onde os pesos são dados pela PDF.

Para encontrar o valor de $k$:
A integral da PDF sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.
$\int_{0}^{1} 2kx dx = 1$
$2k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1$
$2k \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 1$
$2k \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \implies k = 1$

Para encontrar o valor esperado de X ($E[X]$):
Com $k=1$, a PDF é $f(x) = 2x$ para $0 < x < 1$. O valor esperado é calculado por$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$.$E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot (2x) dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx$$E[X] = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$E[X] = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$

(A) Incorreta: O valor de $k=1/2$ é incorreto, pois a integral da PDF não seria 1.
(B) Incorreta: Embora $k=1$ esteja correto, o valor $E[X]=1/2$ seria o valor esperado de uma distribuição uniforme no intervalo $(0,1)$, onde $f(x)=1$. Nossa PDF é $f(x)=2x$, que não é uniforme. Armadilha da banca: Confundir a distribuição dada com uma distribuição uniforme, cujo valor esperado é $(a+b)/2$.
(C) Correta: O valor de $k=1$ é o correto para que a integral da PDF seja 1. O valor esperado $E[X]=2/3$ é calculado corretamente integrando $x \cdot f(x)$ sobre o domínio.
(D) Incorreta: Embora $k=1$ esteja correto, o valor $E[X]=1/3$ resultaria se a integral para o valor esperado fosse $\int_0^1 x^2 dx$, esquecendo o fator 2 da função $f(x)=2x$.
(E) Incorreta: O valor de $k=2$ é incorreto, pois a integral da PDF não seria 1.