Questão de Economia · FGV PCAM 2021 (nº 73)

Uma variável aleatória discreta é aquela que pode assumir um número contável de valores. Sua distribuição de probabilidade lista cada valor possível e sua respectiva probabilidade. Para que seja uma distribuição de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1 ($\sum P(X=x_i) = 1$), e cada probabilidade deve ser não-negativa. O valor esperado (ou média) de uma variável aleatória discreta é a soma de cada valor possível multiplicado por sua probabilidade: $E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$.

Primeiro, vamos determinar o valor de K usando a regra de que a soma das probabilidades deve ser 1:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$1/4 + K + K + 1/4 = 1 \1/2 + 2K = 1 \2K = 1 - 1/2 \2K = 1/2$$K = 1/4$

Se K = 1/4, as probabilidades são $P(X=0)=1/4$, $P(X=1)=1/4$, $P(X=2)=1/4$, $P(X=3)=1/4$. A soma é $1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1$, o que é uma distribuição de probabilidade válida. Com K = 1/4, o valor esperado de X seria:$E(X) = (0 \cdot 1/4) + (1 \cdot 1/4) + (2 \cdot 1/4) + (3 \cdot 1/4)$$E(X) = 0 + 1/4 + 2/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2$.
Portanto, a resposta matematicamente correta (K=1/4 e E(X)=3/2) seria a alternativa B.

A pegadinha da banca / Inconsistência:
O gabarito oficial indica a alternativa E (1/2 e 9/4). Se assumirmos que $K = 1/2$ (conforme a alternativa E), a soma das probabilidades seria $1/4 + 1/2 + 1/2 + 1/4 = 1/4 + 2/4 + 2/4 + 1/4 = 6/4 = 3/2$. Como$3/2 \ne 1$, esta não seria uma distribuição de probabilidade válida. Isso indica uma inconsistência na questão ou no gabarito fornecido, pois a premissa de ser uma "distribuição de probabilidade" é violada. Contudo, seguindo o gabarito oficial, procedemos com$K=1/2$.

Assumindo $K = 1/2$ (conforme o gabarito oficial):
$P(X=0) = 1/4$
$P(X=1) = 1/2$
$P(X=2) = 1/2$
$P(X=3) = 1/4$

O valor esperado de X é:
$E(X) = (0 \cdot 1/4) + (1 \cdot 1/2) + (2 \cdot 1/2) + (3 \cdot 1/4)$
$E(X) = 0 + 1/2 + 1 + 3/4$
Para somar as frações, encontramos um denominador comum (4):
$E(X) = 0/4 + 2/4 + 4/4 + 3/4$
$E(X) = (0 + 2 + 4 + 3) / 4$
$E(X) = 9/4$

Assim, se K=1/2, então E(X)=9/4.

Alternativas:

• (A) Incorreta: O valor de K não é 0. Se K=0, a soma das probabilidades seria $1/4 + 0 + 0 + 1/4 = 1/2 \ne 1$.
• (B) Incorreta: Embora K=1/4 e E(X)=3/2 sejam os valores corretos para uma distribuição de probabilidade válida, o gabarito oficial indica outra resposta. A armadilha da banca aqui é apresentar uma questão com um gabarito que contradiz os princípios fundamentais de uma distribuição de probabilidade, onde a soma das probabilidades deve ser 1.
• (C) Incorreta: O valor de K não é 1/2 se a soma das probabilidades for 1 (seria 1/4). Se K=1/2, E(X) seria 9/4, não 3/4.
• (D) Incorreta: O valor de K não é 1/2 se a soma das probabilidades for 1 (seria 1/4). Se K=1/2, E(X) seria 9/4, não 3/2.
• (E) Correta: De acordo com o gabarito oficial, K é 1/2. Assumindo $K=1/2$, o valor esperado de X é calculado como $E(X) = (0 \cdot 1/4) + (1 \cdot 1/2) + (2 \cdot 1/2) + (3 \cdot 1/4) = 0 + 1/2 + 1 + 3/4 = 2/4 + 4/4 + 3/4 = 9/4$.