Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PCAM 2021 (nº 15)

O Princípio Fundamental da Contagem nos ajuda a calcular o número total de possibilidades quando temos várias decisões a tomar. Aqui, estamos contando as diferentes sequências de gols, que são como arranjos de elementos repetidos (gols do time X e gols do time Y), sob certas condições. Para cada cenário de placar final que atende às condições, usamos a fórmula de combinação para determinar as posições dos gols restantes.

As condições dadas são:

1. Foram marcados 5 gols no total.
2. A primeira anotação (primeiro gol) foi do time X.
3. O time X ganhou a partida (ou seja, o número de gols de X, $N_X$, é maior que o número de gols de Y, $N_Y$).

Considerando que $N_X + N_Y = 5$ e $N_X > N_Y$, os possíveis placares finais são:

• X (3) x Y (2): $3 > 2 e \3+2=5$.
• X (4) x Y (1): $4 > 1 e \4+1=5$.
• X (5) x Y (0): $5 > 0 e \5+0=5$.

Agora, para cada placar possível, vamos calcular o número de maneiras de preencher a coluna dos gols, lembrando que o primeiro gol já foi de X. Isso significa que restam 4 gols a serem distribuídos nas 4 posições restantes.

1. Para o placar (3, 2):
   O time X marcou 3 gols e o time Y marcou 2 gols. Como o primeiro gol já foi de X, restam 2 gols para X e 2 gols para Y a serem distribuídos nas 4 posições restantes.
   O número de maneiras de escolher 2 posições para os gols de X (ou de Y) entre as 4 restantes é dado por $\binom{4}{2}$.
   $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ maneiras.

2. Para o placar (4, 1):
   O time X marcou 4 gols e o time Y marcou 1 gol. Como o primeiro gol já foi de X, restam 3 gols para X e 1 gol para Y a serem distribuídos nas 4 posições restantes.
   O número de maneiras de escolher 1 posição para o gol de Y (ou 3 posições para os gols de X) entre as 4 restantes é dado por $\binom{4}{1}$.
   $\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = 4$ maneiras.

3. Para o placar (5, 0):
   O time X marcou 5 gols e o time Y marcou 0 gols. Como o primeiro gol já foi de X, restam 4 gols para X e 0 gols para Y a serem distribuídos nas 4 posições restantes.
   O número de maneiras de escolher 0 posições para os gols de Y (ou 4 posições para os gols de X) entre as 4 restantes é dado por $\binom{4}{0}$.
   $\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$ maneira.

O número total de maneiras de preencher a coluna dos gols é a soma das maneiras para cada cenário: $6 + 4 + 1 = 11$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa (5) pode surgir de uma contagem incorreta dos cenários ou de uma interpretação errada das condições.
• (B) Incorreta: Esta alternativa (7) pode ser resultado de um erro de cálculo, como se a combinação $\binom{4}{2}$ fosse 2 em vez de 6.
• (C) Incorreta: Esta alternativa (9) é um distrator tentador. Pode surgir de um erro comum no cálculo de combinações, onde um aluno pode ter calculado $\binom{4}{2}$ como 4 (por exemplo, $4 \times 1$) em vez de 6, levando a $4+4+1=9$.
• (D) Correta: O número total de maneiras é 11, conforme a soma das possibilidades para cada placar final que satisfaz as condições do problema.
• (E) Incorreta: Esta alternativa (13) não corresponde a nenhum erro de cálculo comum ou interpretação das condições.