Questão de Raciocínio Lógico · FGV PC-SC 2024 (nº 14)

Para maximizar a média de uma lista de números, devemos tentar tornar cada número da lista o maior possível, respeitando todas as condições dadas. A ausência de menção a números inteiros permite que os valores sejam números reais, o que é crucial para a "pegadinha" da questão.

Vamos representar a lista ordenada de 6 números como $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5 \le x_6$.

1. Maior valor é 11: Isso significa que $x_6 = 11$.
2. Mediana é 8: Para uma lista com um número par de elementos (6, neste caso), a mediana é a média dos dois termos centrais. Assim, $(x_3 + x_4) / 2 = 8$, o que implica $x_3 + x_4 = 16$.
3. Moda é 11: Para que 11 seja a moda e a lista seja unimodal, 11 deve ser o número que aparece com a maior frequência, e essa frequência deve ser estritamente maior do que a frequência de qualquer outro número na lista. Para maximizar a média, queremos que os números sejam os maiores possíveis.

Vamos construir a lista maximizando os valores:

• Já temos $x_6 = 11$.

• Para maximizar a soma e garantir que 11 seja a moda (aparecendo mais de uma vez), fazemos $x_5$ o maior possível, que é $x_5 = 11$ (pois $x_5 \le x_6$).
  A lista agora é $x_1, x_2, x_3, x_4, 11, 11$. O número 11 aparece 2 vezes.

• Agora, vamos maximizar $x_3$ e $x_4$, sabendo que $x_3 + x_4 = 16$ e $x_3 \le x_4 \le x_5 = 11$.
  Para maximizar a soma, fazemos $x_4$ o maior possível, ou seja, $x_4 = 11$.
  Com $x_4 = 11$, temos $x_3 = 16 - 11 = 5$.
  A lista parcial se torna $x_1, x_2, 5, 11, 11, 11$.
  Nesta configuração, o número 11 aparece 3 vezes.

• Finalmente, precisamos maximizar $x_1$ e $x_2$, respeitando $x_1 \le x_2 \le x_3 = 5$.
  Para maximizar a soma, queremos $x_1$ e $x_2$ o mais próximos possível de 5.
  Podemos fazer $x_2 = 5$.
  A lista fica $x_1, 5, 5, 11, 11, 11$.
  Nesta lista, o número 5 aparece 2 vezes ($x_2=5$ e $x_3=5$). O número 11 aparece 3 vezes.
  Para que 11 seja a única moda (com 3 ocorrências), o número 5 não pode aparecer 3 ou mais vezes. Isso significa que $x_1$ não pode ser 5. Portanto, $x_1$ deve ser estritamente menor que 5 ($x_1 < 5$).
  Para maximizar $x_1$ (e, consequentemente, a média), escolhemos um valor que seja o mais próximo possível de 5, mas estritamente menor que 5. Podemos representar isso como $x_1 = 5 - \epsilon$, onde $\epsilon$ é um número positivo muito pequeno (tendendo a zero).

A lista final para maximizar a média é: $(5-\epsilon), 5, 5, 11, 11, 11$.

Vamos verificar todas as condições para esta lista:

• 6 números: Sim.
• Ordenada: $(5-\epsilon) \le 5 \le 5 \le 11 \le 11 \le 11$. Sim.
• Mediana: $(5+11)/2 = 8$. Sim.
• Maior valor: 11. Sim.
• Moda: 11 aparece 3 vezes. 5 aparece 2 vezes. $(5-\epsilon)$ aparece 1 vez. Como 11 aparece mais vezes que qualquer outro número, ele é a única moda. Sim, a lista é unimodal com moda 11.

A soma dos números é $(5-\epsilon) + 5 + 5 + 11 + 11 + 11 = 48 - \epsilon$.
A média aritmética é $(48 - \epsilon) / 6 = 8 - \epsilon/6$.

Como $\epsilon$ é um número positivo muito pequeno, a média $8 - \epsilon/6$ é um valor que se aproxima de 8, mas é sempre estritamente menor que 8. Por exemplo, se $\epsilon = 0.000001$, a média é $8 - 0.000001/6 \approx 7.999999833...$.
Este valor é o maior possível para a média e está entre 7.9 e 8.0.

(A) Incorreta: O valor máximo da média é maior que 7,8.
(B) Incorreta: O valor máximo da média é maior que 7,9. A "pegadinha" aqui é assumir que os números devem ser inteiros, o que levaria a $x_1=4, x_2=5$ e uma média de $47/6 \approx 7.8333...$, que estaria entre 7,8 e 7,9. No entanto, como os números podem ser reais, podemos aproximar mais de 8.
(C) Correta: O maior valor possível para a média aritmética é $8 - \epsilon/6$, que pode ser arbitrariamente próximo de 8 (por exemplo, 7.999...). Este valor se encontra entre 7,9 e 8,0.
(D) Incorreta: O valor máximo da média é estritamente menor que 8,0.
(E) Incorreta: O valor máximo da média é menor que 8,1.