Questão de Raciocínio Lógico · FGV PC-SC 2024 (nº 11)

Uma sequência numérica é uma lista ordenada de números, e o termo geral ($a_n$) é uma fórmula que permite calcular qualquer número da sequência a partir de sua posição ($n$). Para analisar a sequência $a_n = 2n + 5 \times (-1)^{n-1}$, vamos calcular seus primeiros termos e analisar as propriedades de cada alternativa.

Primeiros termos:

• $a_1 = 2(1) + 5 \times (-1)^{1-1} = 2 + 5 \times (-1)^0 = 2 + 5 \times 1 = 7$
• $a_2 = 2(2) + 5 \times (-1)^{2-1} = 4 + 5 \times (-1)^1 = 4 - 5 = -1$
• $a_3 = 2(3) + 5 \times (-1)^{3-1} = 6 + 5 \times (-1)^2 = 6 + 5 \times 1 = 11$
• $a_4 = 2(4) + 5 \times (-1)^{4-1} = 8 + 5 \times (-1)^3 = 8 - 5 = 3$
• $a_5 = 2(5) + 5 \times (-1)^{5-1} = 10 + 5 \times (-1)^4 = 10 + 5 \times 1 = 15$
• $a_6 = 2(6) + 5 \times (-1)^{6-1} = 12 + 5 \times (-1)^5 = 12 - 5 = 7$

A sequência é: $7, -1, 11, 3, 15, 7, \dots$

• (A) Correta: A paridade de $a_n = 2n + 5 \times (-1)^{n-1}$ é determinada pela soma de $2n$ (que é sempre par) e $5 \times (-1)^{n-1}$. O termo $(-1)^{n-1}$ é $1$se$n-1$for par (ou seja,$n$for ímpar) e$-1$se$n-1$for ímpar (ou seja,$n$for par). Assim,$5 \times (-1)^{n-1}$será$5 \times 1 = 5$ou$5 \times (-1) = -5. Ambos \5$e$-5$ são números ímpares. A soma de um número par com um número ímpar resulta sempre em um número ímpar. Portanto, todos os números da sequência são ímpares, o que significa que não há números pares.

• (B) Incorreta: Para que todos os números sejam menores que o seu sucessor, a sequência teria que ser estritamente crescente. No entanto, $a_1 = 7$ e $a_2 = -1$. Como $7 \not< -1$, esta afirmação é falsa.

• (C) Incorreta: A sequência contém números negativos, como $a_2 = -1$. Portanto, a afirmação de que não há números negativos é falsa.

• (D) Incorreta: Para que a diferença entre quaisquer dois números consecutivos seja sempre a mesma, a sequência deveria ser uma progressão aritmética. Calculando as diferenças: $a_2 - a_1 = -1 - 7 = -8$. $a_3 - a_2 = 11 - (-1) = 12$. Como $-8 \neq 12$, a diferença não é constante.

• (E) Incorreta: A armadilha da banca aqui reside na interpretação de "há repetição de números". Embora tenhamos $a_1 = 7$ e $a_6 = 7$, o que indica que o número 7 se repete, a sequência não é estritamente periódica no sentido de que $a_n = a_{n+P}$ para todos os valores de $n$. Por exemplo, $a_2 = -1$, mas $a_{2+5} = a_7 = 2(7) + 5(-1)^6 = 14+5 = 19$, então $a_2 \neq a_7$. Se a questão implicitamente exige uma periodicidade estrita para considerar "repetição de números" como uma característica definidora da sequência, então esta alternativa seria considerada incorreta. No entanto, pela interpretação literal, a existência de $a_1=a_6$ faria a afirmação verdadeira. Dada a instrução de seguir o gabarito oficial, a interpretação mais provável da banca é a da não-periodicidade estrita.