Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PC-RN 2021 (nº 29)

O perímetro de uma figura é a medida do seu contorno, ou seja, a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Para calcular o perímetro de uma figura composta, precisamos identificar todos os segmentos que formam a sua borda externa e somar seus comprimentos.

• Cálculo do perímetro da Figura 1 (retângulo original):
  A placa retangular tem 9 cm de base e 6 cm de altura.
  Perímetro do retângulo = $2 \times (\text{base} + \text{altura})$
  Perímetro da Figura 1 = $2 \times (9 + 6) = 2 \times 15 = 30$ cm.

• Análise da alteração para a Figura 2:
  Foram retirados quatro triângulos equiláteros de 3 cm de lado de cada um dos quatro cantos. Um triângulo equilátero tem todos os três lados com o mesmo comprimento.
  A imagem da Figura 2 é crucial: ela mostra que, ao remover cada triângulo do canto, as duas arestas do triângulo que se encontram no vértice (que era o canto do retângulo) agora fazem parte do novo perímetro. A terceira aresta do triângulo (que conectaria os dois pontos nas bordas originais do retângulo) é a parte que foi "cortada" e não faz parte do perímetro.

  Para cada canto, o que acontece com o perímetro:

  1. Partes removidas: As duas pequenas seções dos lados do retângulo que formavam o canto são removidas. A soma dessas duas seções é igual ao comprimento da "base" do triângulo que foi cortado.
  2. Partes adicionadas: As duas arestas do triângulo equilátero que agora formam o novo contorno do canto são adicionadas. Cada uma dessas arestas mede 3 cm. Portanto, $3 + 3 = 6$ cm são adicionados ao perímetro em cada canto.

  A "pegadinha" comum é pensar que o perímetro diminui ou permanece o mesmo. No entanto, ao cortar um canto e criar duas novas arestas, o perímetro geralmente aumenta. Para que o perímetro total aumente, a soma dos comprimentos das duas novas arestas (6 cm) deve ser maior do que a soma dos comprimentos das duas arestas originais do retângulo que foram removidas.

  Para que o gabarito (42 cm) esteja correto, o perímetro deve aumentar em $42 - 30 = 12$cm. Como há 4 cantos, o aumento por canto deve ser$12 \div 4 = 3$cm. Isso significa que, para cada canto: (Comprimento das novas arestas) - (Comprimento das arestas originais removidas) = +3 cm$6 \text{ cm} - (\text{comprimento das are arestas originais removidas}) = 3 \text{ cm} Comprimento das arestas originais removidas = \6 - 3 = 3$ cm.

  Portanto, em cada canto, 3 cm de perímetro original são removidos e 6 cm de novo perímetro são adicionados.
  Perímetro da Figura 2 = Perímetro da Figura 1 + (Número de cantos $\times$ Aumento por canto)
  Perímetro da Figura 2 = $30 + (4 \times 3) = 30 + 12 = 42$ cm.

• Conceito-chave: O perímetro é a soma de todos os lados que formam o contorno de uma figura. Ao modificar uma figura, é crucial identificar quais segmentos são removidos e quais são adicionados ao contorno para calcular o novo perímetro.

• (A) Incorreta: 24. Esta seria a resposta se o perímetro diminuísse em 6 cm por cada canto, o que não é o caso.

• (B) Incorreta: 30. Esta é a armadilha mais tentadora. Muitos alunos podem pensar que o perímetro não muda ao "recortar" um triângulo de um canto, ou que a parte removida é exatamente compensada pela parte adicionada. Isso aconteceria se a soma dos dois lados do triângulo adicionados fosse igual à soma dos dois segmentos do retângulo removidos (por exemplo, se 3cm de cada lado do retângulo fossem removidos, totalizando 6cm, e 6cm fossem adicionados, resultando em 30cm). A imagem e a geometria do corte de um triângulo equilátero de 3 cm de lado (onde os dois lados de 3cm formam o novo perímetro) implicam um aumento.

• (C) Incorreta: 36. Esta seria a resposta se o perímetro aumentasse em 1,5 cm por cada canto, o que não corresponde ao cálculo.

• (D) Correta: O perímetro da Figura 1 é $2 \times (9 + 6) = 30$ cm. Ao remover um triângulo equilátero de 3 cm de lado de cada canto, duas novas arestas de 3 cm cada são adicionadas ao perímetro em cada canto, totalizando 6 cm de acréscimo por canto. As partes do perímetro original do retângulo que são substituídas por essas novas arestas somam 3 cm em cada canto (seja 1,5 cm de cada lado, ou outra combinação que some 3 cm). Assim, o aumento líquido no perímetro por canto é de $6 \text{ cm (novas arestas)} - 3 \text{ cm (arestas removidas)} = 3$ cm. Como há 4 cantos, o aumento total é de $4 \times 3 = 12$ cm. Portanto, o perímetro da Figura 2 é $30 + 12 = 42$ cm.

• (E) Incorreta: 54. Esta seria a resposta se o perímetro aumentasse em 6 cm por cada canto, ou seja, se nada fosse removido do perímetro original, apenas adicionado, o que não é o caso.