Questão de Administrativa · FGV MPMS 2012 (nº 30)

A operação definida $x * y$ calcula a razão entre o maior e o menor valor entre $x$ e $y$, garantindo que o resultado seja sempre maior ou igual a 1, desde que os valores sejam positivos.

• (A) Incorreta: A afirmativa I está correta, mas não é a única.
• (B) Incorreta: A afirmativa II está correta, mas não é a única.
• (C) Incorreta: As afirmativas I e II estão corretas, mas a afirmativa III também está.
• (D) Incorreta: As afirmativas I e III estão corretas, mas a afirmativa II também está.
• (E) Correta: Todas as afirmativas estão corretas.
  • I. $x * x = 1$, para qualquer $x$, com $0 < x \le 1$. Se $x=y$, a condição $x \ge y$ é satisfeita, então $x * x = \dfrac{x}{x} = 1$. Como $x > 0$, a divisão é válida.
  • II. $x * y = y * x$, para quaisquer $x, y$, com $0 \le x, y \le 1$. Assumindo que $x, y > 0$ para que a operação seja definida (evitando divisão por zero), a operação é comutativa. Se $x \ge y$, $x * y = \dfrac{x}{y}$. Para $y * x$, como $y \le x$, a regra $y < x$ ou $y=x$ se aplica, resultando em $y * x = \dfrac{x}{y}$. Se $x < y$, $x * y = \dfrac{y}{x}$. Para $y * x$, como $y > x$, a regra $y \ge x$ se aplica, resultando em $y * x = \dfrac{y}{x}$. Em ambos os casos, $x * y = y * x$. A armadilha da banca aqui é a inclusão de $0$no domínio ($0 \le x, y \le 1$): se$x=0$ou$y=0$, a operação seria indefinida (divisão por zero). Contudo, em questões de raciocínio lógico, geralmente assume-se que a operação é avaliada apenas onde é matematicamente definida, ou seja, para$x, y > 0$.
  • III. $x * y \ge 1$, para quaisquer $x, y$, com $0 < x, y \le 1$. Se $x \ge y$, então $x * y = \dfrac{x}{y}$. Como $x \ge y$ e $y > 0$, dividindo por $y$ temos $\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{y}{y} \implies \dfrac{x}{y} \ge 1$. Se $x < y$, então $x * y = \dfrac{y}{x}$. Como $y > x$ e $x > 0$, dividindo por $x$ temos $\dfrac{y}{x} > \dfrac{x}{x} \implies \dfrac{y}{x} > 1$. Em ambos os casos, $x * y \ge 1$.