Questão de Administrativa · FGV MPMS 2012 (nº 21)

O Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio de Dirichlet) diz que, se você tem mais "pombos" (itens) do que "casas" (categorias), pelo menos uma casa terá mais de um pombo. Em problemas de "ter certeza", para garantir um resultado, precisamos considerar o pior cenário possível (a maior quantidade de itens que podemos pegar sem atingir o objetivo) e depois adicionar mais um.

Para ter certeza de tirar pelo menos 4 bolas da mesma cor, o pior cenário é pegar o máximo de bolas possível sem completar 4 de qualquer cor.
As cores e suas quantidades são:

• Branca (B): 1 bola
• Amarela (A): 2 bolas
• Laranja (L): 3 bolas
• Verde (V): 4 bolas
• Azul (Az): 5 bolas
• Preta (P): 6 bolas

No pior cenário, pegamos:

1. Todas as bolas de cores que têm menos de 4:
   • 1 bola Branca (esgotamos as brancas)
   • 2 bolas Amarelas (esgotamos as amarelas)
   • 3 bolas Laranjas (pegamos o máximo sem chegar a 4)
2. 3 bolas de cada uma das cores restantes (o máximo sem chegar a 4):
   • 3 bolas Verdes
   • 3 bolas Azuis
   • 3 bolas Pretas

Somando as bolas pegas nesse pior cenário: $1 (B) + 2 (A) + 3 (L) + 3 (V) + 3 (Az) + 3 (P) = 15$bolas. Nesse ponto, temos 15 bolas, e *nenhuma* cor atingiu 4 bolas. As quantidades são: 1B, 2A, 3L, 3V, 3Az, 3P. Se tirarmos mais uma bola (a 16ª), ela *obrigatoriamente* será Laranja, Verde, Azul ou Preta (pois as Brancas e Amarelas já foram esgotadas). Ao ser adicionada a uma dessas cores, ela fará com que essa cor atinja 4 bolas. Portanto,$n = 15 + 1 = 16$.

(A) Incorreta: 4 bolas é o número que queremos atingir para uma cor, não o total. Se tirarmos 4 bolas, elas poderiam ser 4 cores diferentes (ex: B, A, L, V) ou 3 cores diferentes com uma repetida (ex: B, A, L, L), sem garantir 4 da mesma cor.
(B) Incorreta: Se tirarmos 10 bolas, poderíamos ter, por exemplo: 1 Branca, 2 Amarelas, 3 Laranjas, 3 Verdes e 1 Azul. Nenhuma cor tem 4 bolas ainda.
(C) Incorreta: Se tirarmos 12 bolas, poderíamos ter, por exemplo: 1 Branca, 2 Amarelas, 3 Laranjas, 3 Verdes e 3 Azuis. Nenhuma cor tem 4 bolas ainda.
(D) Incorreta: Esta é a armadilha da banca. 15 bolas é o número máximo que você pode tirar sem ter certeza de que há 4 bolas da mesma cor (o "pior cenário"). Nesse ponto, você teria 1 Branca, 2 Amarelas, 3 Laranjas, 3 Verdes, 3 Azuis e 3 Pretas. Nenhuma cor atingiu 4 bolas. Para garantir as 4 bolas da mesma cor, você precisa tirar mais uma.
(E) Correta: Conforme a explicação do Princípio da Casa dos Pombos, após retirar 15 bolas no pior cenário (1B, 2A, 3L, 3V, 3Az, 3P), a próxima bola (a 16ª) necessariamente completará 4 bolas de uma das cores (Laranja, Verde, Azul ou Preta), garantindo assim que se tenha pelo menos quatro bolas da mesma cor.