Questão de Raciocínio Lógico-Analítico · FGV MPGO Servidores 2022 (nº 19)

O conceito-chave aqui é o de sequências cíclicas (ou sequências repetitivas em um ciclo) e a aplicação de aritmética modular. Em uma disposição circular, como pessoas em uma mesa, a contagem dos elementos (sejam pessoas ou letras) se reinicia após o último, formando um padrão que se repete. Para descobrir a posição de um elemento em um ciclo, usamos a operação de módulo (o resto da divisão), que nos ajuda a "voltar ao início" do ciclo.

Para resolver, precisamos descobrir qual pessoa diz a $N$-ésima letra do alfabeto.
Há 11 pessoas. Se a pessoa 1 diz a 1ª letra, a pessoa 2 a 2ª, ..., a pessoa 11 a 11ª, então a pessoa 1 diz a 12ª, e assim por diante.
A pessoa que diz a $N$-ésima letra é dada pela fórmula: $(N-1) \pmod{11} + 1$.
O alfabeto tem 26 letras. A letra 'Z' é a 26ª letra.
A primeira vez que 'Z' é dita, é a 26ª letra na sequência geral.
Pessoa que diz a 1ª 'Z': $(26-1) \pmod{11} + 1 = 25 \pmod{11} + 1 = 3 + 1 = \textbf{Pessoa 4}$.

A cada vez que o alfabeto completo é percorrido, 26 letras são ditas.
A pessoa que diz a próxima 'Z' estará $26 \pmod{11}$ posições à frente da pessoa que disse a 'Z' anterior.
$26 \pmod{11} = 4$.
Então, a cada 'Z', a pessoa que a diz avança 4 posições na mesa circular (contando a partir da pessoa atual).

Vamos listar as pessoas que dizem 'Z':

1. 1ª 'Z': Pessoa 4.
2. 2ª 'Z': Pessoa $(4 + 4 - 1) \pmod{11} + 1 = (7 \pmod{11}) + 1 = 7 + 1 = \textbf{Pessoa 8}$.
3. 3ª 'Z': Pessoa $(8 + 4 - 1) \pmod{11} + 1 = (11 \pmod{11}) + 1 = 0 + 1 = \textbf{Pessoa 1}$.
4. 4ª 'Z': Pessoa $(1 + 4 - 1) \pmod{11} + 1 = (4 \pmod{11}) + 1 = 4 + 1 = \textbf{Pessoa 5}$.
5. 5ª 'Z': Pessoa $(5 + 4 - 1) \pmod{11} + 1 = (8 \pmod{11}) + 1 = 8 + 1 = \textbf{Pessoa 9}$.
6. 6ª 'Z': Pessoa $(9 + 4 - 1) \pmod{11} + 1 = (12 \pmod{11}) + 1 = 1 + 1 = \textbf{Pessoa 2}$.

Alternativamente, podemos calcular diretamente a posição da 6ª letra 'Z' na sequência geral de letras.
A 6ª 'Z' é a $6 \times 26 = 156$-ésima letra dita.
Aplicando a fórmula para encontrar a pessoa: $(156-1) \pmod{11} + 1 = 155 \pmod{11} + 1$.
$155 \div 11 = 14$ com resto $1$. Então,$155 \pmod{11} = 1$. A pessoa é$1 + 1 = \textbf{Pessoa 2}$.

(A) Correta: A pessoa 2 diz a sexta letra 'Z'. Conforme a sequência de cálculos, a pessoa 2 é quem diz a sexta ocorrência da letra 'Z'.
(B) Incorreta: A pessoa 5 diz a quarta letra 'Z', não a sexta.
(C) Incorreta: A pessoa 8 diz a segunda letra 'Z', não a sexta.
(D) Incorreta: A pessoa 9 diz a quinta letra 'Z', não a sexta. Este é o distrator mais tentador, pois representa a pessoa que diz a 'Z' imediatamente anterior à correta, indicando um possível erro de contagem ou parada prematura na sequência.
(E) Incorreta: A pessoa 11 não diz a sexta letra 'Z'. A pessoa 11 diria a 'Z' se a sequência de 'Z's caísse nela, o que não ocorre para a sexta 'Z'.