Questão de Raciocínio Lógico-Analítico · FGV MPGO Servidores 2022 (nº 17)

Em problemas de criptografia numérica (ou criptoaritmética), letras representam algarismos únicos (de 0 a 9). Letras diferentes devem representar algarismos diferentes. Além disso, algarismos que iniciam um número não podem ser zero.

Vamos analisar a operação:
A B C
x C

D E F C

1. Encontrando o valor de C:
   A multiplicação C * C deve resultar em um número que termina em C.

   • Se C = 0, C*C = 0. Mas o problema diz que C não pode ser zero.
   • Se C = 1, C*C = 1. (Possível)
   • Se C = 2, C*C = 4.
   • Se C = 3, C*C = 9.
   • Se C = 4, C*C = 16.
   • Se C = 5, C*C = 25. (Possível)
   • Se C = 6, C*C = 36. (Possível)
   • Se C = 7, C*C = 49.
   • Se C = 8, C*C = 64.
   • Se C = 9, C*C = 81.
     Portanto, C pode ser 1, 5 ou 6.

2. Eliminando C = 1:
   Se C = 1, a operação seria ABC * 1 = ABC.
   Isso significaria que D=A, E=B e F=C=1.
   No entanto, a regra "letras diferentes representam algarismos diferentes" seria violada, pois D e A são letras diferentes, mas representariam o mesmo algarismo. O mesmo ocorreria com E e B.
   Logo, C não pode ser 1.

3. Testando C = 5:
   Se C = 5, a operação é:
   A B 5
   x 5

   D E F 5

   • Coluna das unidades: 5 * 5 = 25. O 5 é o C, e sobe 2 para a dezena.
   • Coluna das dezenas: (B * 5) + 2 deve terminar em F.
     • Se B for par (0, 2, 4, 6, 8), B5 termina em 0, então (B5)+2 termina em 2. Logo, F=2. O "sobe" para a centena é B/2.
     • Se B for ímpar (1, 3, 7, 9), B5 termina em 5, então (B5)+2 termina em 7. Logo, F=7. O "sobe" para a centena é (B-1)/2.
   • Coluna das centenas: (A * 5) + (carry da dezena) = DE.
     As letras A, B, C, D, E, F devem ser algarismos únicos. A e D não podem ser 0 (algarismos iniciais). C=5.

   Vamos procurar uma solução onde A+B+C = 15. Se C=5, então A+B=10.

   • Caso F=2 (B é par): Dígitos já usados: C=5, F=2. A, B, D, E não podem ser 5 ou 2.
     • Se B=0, A=10 (não é algarismo).
     • Se B=4, A=6. Carry da dezena = 4/2 = 2.
       A5+2 = 65+2 = 32. Então D=3, E=2.
       Dígitos: A=6, B=4, C=5, D=3, E=2, F=2. Aqui, E=F=2, o que viola a regra de algarismos únicos para letras diferentes. (645 * 5 = 3225)
     • Se B=6, A=4. Carry da dezena = 6/2 = 3.
       A5+3 = 45+3 = 23. Então D=2, E=3.
       Dígitos: A=4, B=6, C=5, D=2, E=3, F=2. Aqui, E=F=2, o que viola a regra. (465 * 5 = 2325)
     • Se B=8, A=2. Carry da dezena = 8/2 = 4.
       A5+4 = 25+4 = 14. Então D=1, E=4.
       Dígitos: A=2, B=8, C=5, D=1, E=4, F=2. Aqui, E=F=2, o que viola a regra. (285 * 5 = 1425)
   • Caso F=7 (B é ímpar): Dígitos já usados: C=5, F=7. A, B, D, E não podem ser 5 ou 7.
     • Se B=1, A=9. Carry da dezena = (1-1)/2 = 0.
       A5+0 = 95 = 45. Então D=4, E=5.
       Dígitos: A=9, B=1, C=5, D=4, E=5, F=7. Aqui, C=E=5, o que viola a regra. (915 * 5 = 4575)
     • Se B=3, A=7. Carry da dezena = (3-1)/2 = 1.
       A5+1 = 75+1 = 36. Então D=3, E=6.
       Dígitos: A=7, B=3, C=5, D=3, E=6, F=7. Aqui, B=D=3, o que viola a regra. (735 * 5 = 3675)
     • Se B=9, A=1. Carry da dezena = (9-1)/2 = 4.
       A5+4 = 15+4 = 9. Então D=0, E=9.
       Dígitos: A=1, B=9, C=5, D=0, E=9, F=7. Aqui, D=0, mas D é o primeiro algarismo do produto (DEFC), então não pode ser zero. Além disso, E=B=9. (195 * 5 = 975)
       Concluímos que, se A+B+C=15, C não pode ser 5.

4. Testando C = 6:
   Se C = 6, a operação é:
   A B 6
   x 6

   D E F 6

   • Coluna das unidades: 6 * 6 = 36. O 6 é o C, e sobe 3 para a dezena.
   • Coluna das dezenas: (B * 6) + 3 deve terminar em F. O "sobe" para a centena é $(B*6+3-F)/10$.
   • Coluna das centenas: (A * 6) + (carry da dezena) = DE.
     As letras A, B, C, D, E, F devem ser algarismos únicos. A e D não podem ser 0. C=6.

   Vamos procurar uma solução onde A+B+C = 15. Se C=6, então A+B=9.
   Vamos testar valores para B (de 0 a 9, exceto 6):

   • Se B=0, então A=9.
     • (0 * 6) + 3 = 3. Então F=3. Carry da dezena = 0.
     • (A * 6) + 0 = 9 * 6 = 54. Então D=5, E=4.
     • Dígitos: A=9, B=0, C=6, D=5, E=4, F=3.
     • Verificação: Todos os algarismos (9, 0, 6, 5, 4, 3) são únicos. A=9 != 0. D=5 != 0. C=6 != 0.
     • A operação é 906 * 6 = 5436.
     • Esta é uma solução válida! A+B+C = 9+0+6 = 15.

   (Existem outras soluções válidas para A, B, C que também resultam em A+B+C=15, por exemplo:

   • Se B=2, A=7. (26)+3 = 15. F=5, carry=1. (76)+1 = 43. D=4, E=3.
     Dígitos: A=7, B=2, C=6, D=4, E=3, F=5. Todos únicos. 726 * 6 = 4356. A+B+C = 7+2+6 = 15.
   • Se B=4, A=5. (46)+3 = 27. F=7, carry=2. (56)+2 = 32. D=3, E=2.
     Dígitos: A=5, B=4, C=6, D=3, E=2, F=7. Todos únicos. 546 * 6 = 3276. A+B+C = 5+4+6 = 15.
   • Se B=5, A=4. (56)+3 = 33. F=3, carry=3. (46)+3 = 27. D=2, E=7.
     Dígitos: A=4, B=5, C=6, D=2, E=7, F=3. Todos únicos. 456 * 6 = 2736. A+B+C = 4+5+6 = 15.)

Como encontramos pelo menos uma solução válida onde A+B+C = 15, e eliminamos todas as outras possibilidades para o valor de C que levariam a 15, o valor de A+B+C é 15.

(A) Incorreta: Embora existam soluções válidas que resultam em A+B+C=13 (ex: A=7, B=0, C=6, resultando em 706 * 6 = 4236), a análise completa demonstra que 15 é o único valor possível para A+B+C que satisfaz todas as condições e é uma das opções.
(B) Incorreta: Existem soluções válidas que resultam em A+B+C=14 (ex: A=3, B=6, C=5, resultando em 365 * 5 = 1825), mas a análise completa demonstra que 15 é o único valor possível para A+B+C que satisfaz todas as condições e é uma das opções.
(C) Correta: Uma solução válida é A=9, B=0, C=6. A multiplicação 906 * 6 resulta em 5436. As letras A=9, B=0, C=6, D=5, E=4, F=3 são todas algarismos únicos. C não é zero, A não é zero e D não é zero. A soma A+B+C = 9+0+6 = 15. Outras combinações de A, B, C também resultam em 15, como (A=7, B=2, C=6) ou (A=4, B=5, C=6), todas válidas.
(D) Incorreta: Existem soluções válidas que resultam em A+B+C=16 (ex: A=8, B=2, C=6, resultando em 826 * 6 = 4956), mas a análise completa demonstra que 15 é o único valor possível para A+B+C que satisfaz todas as condições e é uma das opções.
(E) Incorreta: Existem soluções válidas que resultam em A+B+C=17 (ex: A=8, B=3, C=6, resultando em 836 * 6 = 5016), mas a análise completa demonstra que 15 é o único valor possível para A+B+C que satisfaz todas as condições e é uma das opções.