Questão de Raciocínio Lógico · FGV MP-SC 2022 (nº 28)

Conceito-chave: Em um triângulo retângulo, quando uma semicircunferência tem centro sobre um cateto e é tangente à hipotenusa, o raio é a distância perpendicular do centro até a hipotenusa. Essa distância pode ser calculada pela área do triângulo (base × altura / 2) de duas formas diferentes.

(A) Incorreta: $\sqrt{2}$ seria o raio se o centro estivesse no ponto médio de AB, mas o centro não é o ponto médio; a tangência à hipotenusa impõe outra posição.

(B) Incorreta: $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ é um valor que surge de tentativas de usar ângulos de 30°/60°, mas o triângulo ABC (catetos 4 e 2) tem hipotenusa $2\sqrt{5}$, e não ângulos notáveis de 30°/60°.

(C) Incorreta: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ é o raio de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, o que não se aplica aqui; o triângulo é retângulo escaleno.

(D) Incorreta: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ é a metade da hipotenusa, mas o raio não é metade da hipotenusa; é a distância do centro (que está em AB) até a reta BC, que é menor que isso.

(E) Correta: Seja $O$ o centro da semicircunferência sobre AB, com $AO = x$. Então $OB = 4 - x$. A distância de $O$ até a reta BC (que é o raio $r$) pode ser calculada pela semelhança de triângulos: o triângulo retângulo formado por $O$, o ponto de tangência em BC e o vértice B é semelhante ao triângulo ABC. Assim, $\frac{r}{4-x} = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$, logo $r = \frac{4-x}{\sqrt{5}}$. Mas também $r = x$ (pois o centro está sobre AB e a semicircunferência é tangente a AB no ponto A? Não — na verdade, o raio é a distância de $O$ até BC, e como $O$ está sobre AB, a distância de $O$ até AB é zero; o raio é a distância até BC). Igualando: $x = \frac{4-x}{\sqrt{5}} \Rightarrow x\sqrt{5} = 4 - x \Rightarrow x(\sqrt{5}+1) = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{\sqrt{5}+1} = \sqrt{5} - 1$. Portanto, o raio é $\sqrt{5} - 1$.