Questão de Raciocínio Lógico · FGV MP-SC 2022 (nº 26)

Conceito-chave: Em um retângulo, as diagonais se cruzam no centro e formam dois ângulos: um agudo ($x$) e um obtuso ($180° - x$). A relação entre eles é que $\cos(180° - x) = -\cos(x)$, e a fórmula dada permite achar $\text{sen}(x) + \cos(x)$ a partir do ângulo duplo.

• (A) Incorreta: 1,2 seria o valor de $\text{sen}(x) + \cos(x)$ se $\text{sen}(2x)$ fosse 0,44, mas o cálculo correto com base nas dimensões do retângulo (base $3h$, altura $h$) resulta em $\text{sen}(2x) = \frac{3}{5}$, não 0,44.
• (B) Correta: Se a base é $3h$ e a altura $h$, a diagonal mede $h\sqrt{10}$. O ângulo entre as diagonais tem $\text{sen}(x) = \frac{2 \cdot 3h \cdot h}{(h\sqrt{10})^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (pois $\text{sen}(2\theta) = \frac{2 \cdot \text{base} \cdot \text{altura}}{\text{diagonal}^2}$). Assim, $\text{sen}(2x) = \frac{3}{5}$, e como $\text{sen}(2x) = 2\text{sen}(x)\cos(x)$, temos $\text{sen}(x)\cos(x) = \frac{3}{10}$. Então $(\text{sen}(x) + \cos(x))^2 = 1 + 2 \cdot \frac{3}{10} = 1,6$, logo $\text{sen}(x) + \cos(x) = \sqrt{1,6} = \frac{4}{\sqrt{10}} \approx 1,4$.
• (C) Incorreta: 1,5 seria o valor se você confundisse $\text{sen}(x) + \cos(x)$ com $\sqrt{1 + \text{sen}(2x)}$ e usasse $\text{sen}(2x) = 1,25$ (erro de cálculo), mas o correto é $\text{sen}(2x) = 0,6$, resultando em $\sqrt{1,6} \approx 1,4$.
• (D) Incorreta: 1,6 é o valor de $(\text{sen}(x) + \cos(x))^2$, não da soma em si. A pegadinha está em esquecer de extrair a raiz quadrada.
• (E) Incorreta: 1,8 seria o valor se você assumisse erroneamente que $\text{sen}(x) + \cos(x) = 1 + \text{sen}(2x)$ (identidade falsa), ou se usasse $\text{sen}(2x) = 0,8$ (erro de proporção). O correto é $\sqrt{1,6} \approx 1,4$.