Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MP-SC 2022 (nº 30)

Para resolver equações racionais, que são equações com variáveis nos denominadores, o primeiro passo é encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores para eliminá-los, transformando a equação em uma forma polinomial mais simples. É fundamental, antes de resolver, identificar os valores que tornam qualquer denominador zero, pois essas são as restrições da equação e qualquer solução que coincida com elas deve ser descartada.

Vamos resolver a equação $\frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+1} = 2$:

1. Identificar as restrições: Os denominadores são $x-1$ e $x+1$. Portanto, $x \neq 1$ e $x \neq -1$.
2. Encontrar o MMC dos denominadores: O MMC é $(x-1)(x+1)$.
3. Multiplicar toda a equação pelo MMC para eliminar os denominadores:
   $(x-1)(x+1) \left( \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+1} \right) = 2(x-1)(x+1)$
   3(x+1) + 2(x-1) = 2(x^2 - 1)\
4. Simplificar e organizar a equação:
   $3x + 3 + 2x - 2 = 2x^2 - 2$
   $5x + 1 = 2x^2 - 2$
   $0 = 2x^2 - 5x - 3$ (equação quadrática)
5. Resolver a equação quadrática (usando a fórmula de Bhaskara $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$):
   Com $a=2$, $b=-5$, $c=-3$:
   $\Delta = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49$
   $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 \pm 7}{4}$
   As raízes são:
   $x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$
   x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\
6. Verificar as restrições: Nenhuma das raízes ($3$ou$-1/2$) viola as restrições ($x \neq 1$e$x \neq -1$). Ambas são soluções válidas.
7. Identificar a raiz negativa: A raiz negativa é $x = -\frac{1}{2}$, que é igual a $-0.5$.
8. Localizar a raiz negativa no intervalo correto: O número $-0.5$ está no intervalo $(-1, 0)$, pois é maior que $-1$ e menor que $0$.

(A) Correta: A raiz negativa da equação é $x = -1/2$ (ou $-0.5$), e este valor está contido no intervalo $(-1, 0)$, pois $-1 < -0.5 < 0$.
(B) Incorreta: O intervalo $(-2, -1)$ não contém a raiz negativa $x = -1/2$. Este seria um distrator tentador se o aluno cometesse um erro de cálculo e obtivesse uma raiz como $-1.5$.
(C) Incorreta: O intervalo $(-3, -2)$ não contém a raiz negativa $x = -1/2$.
(D) Incorreta: O intervalo $(-4, -3)$ não contém a raiz negativa $x = -1/2$.
(E) Incorreta: O intervalo $(-5, -4)$ não contém a raiz negativa $x = -1/2$.