Questão de Matemática · FGV IBGE 2016 - Técnico (nº 50)

Conceito-chave: Quando duas grandezas variam juntas, o produto $P = X \cdot Y$ pode ser maximizado encontrando o vértice da parábola (ponto de máximo), pois a função produto será uma equação do 2º grau com concavidade para baixo. Aqui, a cada diminuição de 1 em $X$, $Y$ aumenta 2, então escrevemos $X = 50 - k$ e $Y = 36 + 2k$, com $k$ sendo o número de variações.

• (A) Correta: Com $k$ variações, $P(k) = (50-k)(36+2k) = -2k^2 + 64k + 1800$. O máximo ocorre em $k = -b/(2a) = -64/(2 \cdot (-2)) = 16$. Substituindo: $P(16) = (50-16)(36+32) = 34 \cdot 68 = 2312$.
• (B) Incorreta: 2264 seria obtido se você usasse $k=15$ ou $k=17$ por engano, mas o vértice exige $k=16$; a banca testa quem não calcula o ponto exato.
• (C) Incorreta: 2216 aparece se você inverter a relação (aumentar $X$ e diminuir $Y$) ou errar o sinal do coeficiente $a$, caindo em um valor fora do vértice.
• (D) Incorreta: 2180 resulta de usar $k=20$ (chute comum), mas isso não respeita a condição de máximo; o produto decresce após $k=16$.
• (E) Incorreta: 2124 é o produto quando $k=18$, mostrando que a função já caiu; a pegadinha é achar que valores maiores de $k$ sempre aumentam o produto, mas a parábola inverte após o vértice.