Questão de Recursos Energéticos · FGV EPE 2024 (nº 41)

A Programação Linear é uma técnica matemática usada para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear, chamada função objetivo, sujeita a um conjunto de restrições lineares. Ela ajuda a tomar decisões sobre a alocação de recursos limitados.

• Variáveis de decisão:

  • $x_A$: Produção da Planta A (em unidades de energia)
  • $x_B$: Produção da Planta B (em unidades de energia)

• Função Objetivo (Minimizar Custo):

  • $C = 5x_A + 3x_B$ (Custo total em R$)

• Restrições:

  1. Demanda mínima: A produção total deve ser de pelo menos 4 unidades.
     x_A + x_B \ge 4\
  2. Produção da Planta A vs. Planta B: A produção da Planta A deve ser pelo menos metade da produção da Planta B.
     x_A \ge 0.5x_B \implies x_A - 0.5x_B \ge 0\
  3. Não-negatividade: A produção não pode ser negativa.
     $x_A \ge 0$, $x_B \ge 0$

Para encontrar o custo mínimo, avaliamos a função objetivo nos vértices da região viável (a área que satisfaz todas as restrições).

1. Encontrar os vértices da região viável:

   • Vértice 1: Interseção das linhas $x_A + x_B = 4$ e $x_A = 0.5x_B$.
     Substituindo $x_A$ na primeira equação:
     $0.5x_B + x_B = 4$
     $1.5x_B = 4$
     $x_B = 4 / 1.5 = 8/3$ unidades
     $x_A = 0.5 * (8/3) = 4/3$ unidades
     Ponto: $(4/3, 8/3)$
   • Vértice 2: Interseção da linha $x_A + x_B = 4$ com o eixo $x_B=0$.
     $x_A + 0 = 4 \implies x_A = 4$ unidades
     Verificando a segunda restrição: $4 \ge 0.5 * 0 \implies 4 \ge 0$ (válido).
     Ponto: $(4, 0)$
   • Outros pontos como $(0,0)$ ou $(0,x_B)$ não satisfazem a demanda mínima ou a restrição de $x_A$ em relação a $x_B$ para formar um vértice da região viável.

2. Calcular o custo em cada vértice:

   • Para $(x_A, x_B) = (4/3, 8/3)$:
     $C = 5(4/3) + 3(8/3) = 20/3 + 24/3 = 44/3 \approx 14.67$
   • Para $(x_A, x_B) = (4, 0)$:
     $C = 5(4) + 3(0) = 20$

O custo mínimo é o menor valor encontrado, que é 44/3 \approx R\14.67$.

• (A) Incorreta: O custo mínimo calculado é de aproximadamente R$14,67, que não está entre R$9 e R$11.
• (B) Incorreta: O custo mínimo calculado é de aproximadamente R$14,67, que não está entre R$11 e R$13.
• (C) Correta: O custo mínimo de produção é de $R$44/3 \approx R$14,67, que se encontra no intervalo entre R\13 e R$15. A solução ótima ocorre quando a Planta A produz 4/3 unidades e a Planta B produz 8/3 unidades.
• (D) Incorreta: O custo mínimo calculado é de aproximadamente R$14,67, que não está entre R$15 e R$17 (é menor que R$15).
• (E) Incorreta: O custo mínimo calculado é de aproximadamente R$14,67, que não está entre R$17 e R$19. Este seria o resultado se a restrição "produção da Planta A seja pelo menos metade da produção da Planta B" fosse interpretada incorretamente como $x_B \ge 0.5x_A$ (Planta B produz pelo menos metade da Planta A), levando a um custo de 52/3 \approx R\17.33$.