Questão de Gás Natural · FGV EPE 2024 (nº 66)

A Análise Combinatória estuda as diferentes formas de agrupar ou ordenar elementos de um conjunto. Existem três tipos principais de contagem, dependendo se a ordem dos elementos importa e se todos os elementos são usados:

• Arranjo (A): A ordem dos elementos importa. Usamos quando a posição ou função de cada elemento é diferente (ex: 1º e 2º lugar, presidente e vice).
• Permutação (P): É um caso especial de arranjo onde a ordem dos elementos importa e todos os elementos são usados.
• Combinação (C): A ordem dos elementos NÃO importa. Usamos quando a escolha de elementos forma um grupo sem distinção de posições (ex: uma comissão, um grupo de estudo).

(A) Incorreta: A alternativa A não é o gabarito oficial.
(B) Incorreta: A alternativa B não é o gabarito oficial.
(C) Correta:

• Afirmativa 1 (V): "O número de maneiras distintas de escolha numa votação para escolher um representante e um vice representante de uma turma, com 20 alunos, sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice representante, é igual a 380."
  • Aqui, a ordem importa, pois ser representante é diferente de ser vice-representante. Se João é representante e Maria é vice, é diferente de Maria ser representante e João ser vice. Estamos escolhendo 2 pessoas de 20 para posições distintas. Isso é um problema de Arranjo.
  • Calculamos $A(n, k) = n! / (n-k)!$. Para $n=20$ e $k=2$:
  • $A(20, 2) = 20! / (20-2)! = 20! / 18! = 20 \times 19 = 380$.
  • A afirmativa é Verdadeira (V).
• Afirmativa 2 (F): "O número de maneiras diferentes que 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares é 550."
  • Temos 6 pessoas e 6 lugares distintos. A ordem em que as pessoas se sentam importa (se a pessoa A senta no lugar 1 é diferente de sentar no lugar 2). Todos os elementos (pessoas) estão sendo arranjados. Isso é um problema de Permutação.
  • Calculamos $P(n) = n!$. Para $n=6$:
  • $P(6) = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
  • A afirmativa afirma que o número é 550, o que é incorreto.
  • A afirmativa é Falsa (F).
  • Armadilha da banca: O valor 550 é um distrator numérico. A pegadinha está em não calcular corretamente o fatorial de 6 ou em confundir com alguma outra operação. O cálculo correto de $6!$ é 720, não 550.
• Afirmativa 3 (V): "O número de maneiras distintas que uma comissão organizadora pode ser formada na escolha de 3 membros, dentre as 10 pessoas que se candidataram é 120."
  • Estamos escolhendo 3 membros para uma comissão. Em uma comissão, a ordem de escolha não importa (uma comissão com João, Maria e Pedro é a mesma que com Maria, Pedro e João, a menos que funções específicas sejam atribuídas, o que não é o caso aqui). Isso é um problema de Combinação.
  • Calculamos $C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)$. Para $n=10$ e $k=3$:
  • $C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 \times 9 \times 8) / (3 \times 2 \times 1) = (10 \times 3 \times 4) = 120$.
  • A afirmativa é Verdadeira (V).
  • Portanto, a sequência correta é V – F – V.
    (D) Incorreta: A alternativa D não é o gabarito oficial.
    (E) Incorreta: A alternativa E não é o gabarito oficial.