Questão de Engenharia Civil · FGV DPE-RS 2023 (nº 46)

Para determinar os momentos fletores máximos em uma viga contínua sob cargas permanentes e móveis (trem-tipo), é fundamental utilizar o conceito de linhas de influência. Uma linha de influência mostra como uma determinada grandeza (como momento fletor em um ponto específico) varia à medida que uma carga unitária se move ao longo da estrutura. Para cargas distribuídas, multiplicamos a intensidade da carga pela área da linha de influência correspondente. Para cargas concentradas, multiplicamos a carga pelo valor da ordenada da linha de influência no ponto de aplicação da carga.

Cálculo dos Momentos devido à Carga Permanente (g = 10 kN/m):
Para uma viga contínua de dois vãos iguais (L=10m) e carga uniformemente distribuída em toda a extensão, os momentos são:

• Momento negativo no apoio central (B): $M_{g,neg} = -\frac{gL^2}{8} = -\frac{10 \times 10^2}{8} = -\frac{1000}{8} = -125 \text{ kN.m}$
• Momento positivo no meio do vão (aproximadamente): $M_{g,pos} = \frac{9gL^2}{128} = \frac{9 \times 10 \times 10^2}{128} = \frac{9000}{128} \approx 70.31 \text{ kN.m}$
  • Mais precisamente, o momento positivo máximo para carga distribuída em um vão de uma viga contínua de dois vãos iguais é $M_{pos} = \frac{11}{128} gL^2$ para o ponto de momento máximo, ou $M_{pos} = \frac{1}{2} \left( \frac{gL^2}{8} - \frac{gL^2}{8} \right)$ se considerarmos a superposição de uma viga biapoiada e o momento no apoio.
  • Vamos usar a linha de influência para o meio do vão. O valor máximo da ordenada da linha de influência para momento positivo no meio do vão é $0.390625L$ para uma carga unitária, e para carga distribuída é a área do triângulo da linha de influência. A área da linha de influência para momento positivo no meio do vão é $\frac{2}{3} \times \frac{L}{2} \times \frac{3L}{16} = \frac{L^2}{16}$ para uma viga biapoiada. Para viga contínua, o valor da ordenada máxima para momento positivo no meio do vão é $0.109375 L (ou \11/128 L$). A área da parte positiva da linha de influência para momento no meio do vão para uma viga contínua de dois vãos iguais é $\frac{11}{128}L \times L = \frac{11}{128}L^2$ (se for um triângulo simples, mas não é).
  • Para uma carga distribuída 'q' em todo o vão, o momento positivo máximo no meio do vão é $M_{pos} = \frac{11}{128} qL^2$.
  • $M_{g,pos} = \frac{11}{128} \times 10 \times 10^2 = \frac{11000}{128} = 85.9375 \text{ kN.m}$

Cálculo dos Momentos devido ao Trem-Tipo (Cargas Concentradas + Carga de Multidão):
O trem-tipo consiste em 3 cargas concentradas de 20 kN (P1, P2, P3) distantes 2m entre si, e uma carga de multidão de 10 kN/m.

1. Momento Fletor Negativo Máximo (no apoio central B):
Para maximizar o momento negativo no apoio central, a carga de multidão (10 kN/m) deve ser aplicada nos vãos que geram momento negativo no apoio B, ou seja, ambos os vãos.
As cargas concentradas (20 kN) devem ser posicionadas sobre as ordenadas negativas máximas da linha de influência para momento em B. Para uma viga contínua de dois vãos iguais, a linha de influência para o momento no apoio central B tem um pico negativo em B e se estende sobre ambos os vãos.
A ordenada máxima da linha de influência para o momento no apoio B é -0.25L (ou -L/4).
$y_{B,max} = -0.25 \times 10 = -2.5$.

Para maximizar o momento negativo em B:

• Posicionar uma carga de 20 kN diretamente sobre o apoio B (onde a ordenada é -2.5).
• As outras duas cargas de 20 kN devem ser posicionadas nas maiores ordenadas negativas adjacentes.
• A carga de multidão de 10 kN/m deve cobrir ambos os vãos (toda a extensão da viga).

Vamos considerar a configuração do trem-tipo: 20 kN - 2m - 20 kN - 2m - 20 kN.
Para maximizar o momento negativo em B, colocamos a carga central do trem-tipo (P2) sobre o apoio B.

• P2 (20 kN) em B (ordenada -2.5).
• P1 (20 kN) a 2m de B (ordenada da LI em B a 2m de B).
• P3 (20 kN) a 2m de B no outro vão (ordenada da LI em B a 2m de B).

A linha de influência para o momento no apoio B para uma viga contínua de dois vãos iguais L é um triângulo com pico -L/4 em B e ordenada 0 nos apoios A e C.
A equação da linha de influência para o momento em B (assumindo x do apoio A):

• Para o vão AB ($0 \le x \le L$): $M_B(x) = -\frac{x(L-x)}{L}$ se a carga unitária estiver no vão AB.
• Para o vão BC ($L \le x \le 2L$): $M_B(x) = -\frac{(x-L)(2L-x)}{L}$ se a carga unitária estiver no vão BC.
• Isso não está correto para viga contínua. Para viga contínua, a linha de influência para o momento no apoio central B é um triângulo com ordenada -L/4 em B e zero nos apoios A e C.
  • Para uma carga unitária P=1 no vão AB (0 a L): $M_B = -\frac{1}{2} P x (1 - x/L)$ (isto é para um apoio interno de uma viga contínua de 2 vãos iguais, mas a LI é mais complexa).
  • A ordenada da linha de influência para $M_B$ é -1 para uma carga unitária em B.
  • Para uma carga unitária no vão AB a uma distância 'a' do apoio A, o momento em B é $R_B \times 0 - R_A \times L + M_B = 0$.
  • Para uma viga contínua de dois vãos iguais L, a linha de influência para o momento no apoio central B tem ordenada máxima de $-L/4$ se a carga unitária estiver no apoio. Não, isso é para uma viga biapoiada com balanço.
  • Para uma viga contínua de dois vãos iguais L, a linha de influência para o momento no apoio central B tem ordenada máxima de $-L/2$ para uma carga unitária em B. Não, isso é para uma viga engastada.
  • A linha de influência para o momento no apoio central B (para uma carga unitária) tem um valor de $-L/2$ no apoio B (se a carga unitária estiver ali).
  • A ordenada da linha de influência para o momento no apoio B é -L/2 quando a carga unitária está no apoio B.
  • Para uma carga unitária em um dos vãos, a ordenada da LI para $M_B$ é negativa.
  • O valor máximo da ordenada negativa para $M_B$ é quando a carga unitária está em B, e a ordenada é -L/2.
  • Então, para uma carga concentrada P=20 kN em B, $M_{P2,B} = 20 \times (-L/2) = 20 \times (-10/2) = -100 \text{ kN.m}$.
  • As outras duas cargas de 20 kN estão a 2m de B. A ordenada da LI para $M_B$ a 2m de B (em cada vão) é:
    • Para um ponto x no vão (distância do apoio extremo), a ordenada é $y = -\frac{x(L-x)}{L}$ para uma viga biapoiada.
    • Para uma viga contínua de dois vãos iguais L, a linha de influência para o momento no apoio central B tem ordenadas:
      • No vão AB, a ordenada é $\frac{x}{L} \left( \frac{x^2}{L^2} - 1 \right) \frac{L}{2}$ (não, isso é muito complexo para um problema de múltipla escolha).
      • Vamos usar os coeficientes padrão para momentos em vigas contínuas.
      • Para uma carga uniformemente distribuída 'q' em ambos os vãos, $M_B = -qL^2/8 = -10 \times 10^2 / 8 = -125 \text{ kN.m}$.
      • Para uma carga concentrada 'P' no meio de um vão, $M_B = -PL/8 = -20 \times 10 / 8 = -25 \text{ kN.m}$.

Vamos reconsiderar as linhas de influência para uma viga contínua de 2 vãos iguais L=10m.
Linha de Influência para Momento no Apoio Central (B):

• O valor da ordenada em B é -L/2 = -10/2 = -5.0 (quando uma carga unitária está em B).
• Para uma carga unitária no vão AB a uma distância x de A, a ordenada da LI para $M_B$ é: $y(x) = -\frac{x(L-x)}{2L}$ (se a carga unitária estiver no vão AB).
  • Para x=8m (P3 a 2m de B no vão BC, ou P1 a 2m de B no vão AB), a ordenada é $y(8) = -\frac{8(10-8)}{2 \times 10} = -\frac{8 \times 2}{20} = -\frac{16}{20} = -0.8$.
  • Então, P1 (20 kN) em x=8m (ou 2m do apoio B) e P3 (20 kN) em x=12m (ou 2m do apoio B no vão BC).
  • $M_{P1,B} = 20 \times (-0.8) = -16 \text{ kN.m}$.
  • $M