Questão de Raciocínio Lógico · FGV DATAPREV 2024 (nº 30)

A probabilidade condicional mede a chance de um evento acontecer, sabendo que outro evento já ocorreu. Ela é calculada pela fórmula $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, onde $P(A|B)$ é a probabilidade de A dado B, $P(A \cap B)$ é a probabilidade de A e B ocorrerem juntos, e $P(B)$ é a probabilidade de B ocorrer.

Para resolver a questão:
Temos 10 parafusos, sendo 4 enferrujados (E) e 6 não enferrujados (N).
Queremos a probabilidade de o primeiro parafuso ser enferrujado ($P_1E$), sabendo que o segundo não é enferrujado ($P_2N$). Ou seja, $P(P_1E | P_2N)$.

1. Calcular $P(P_1E \cap P_2N)$: Probabilidade de o primeiro ser enferrujado E o segundo não ser enferrujado.

   • Probabilidade de o primeiro ser enferrujado: $P(P_1E) = \frac{4}{10}$.
   • Após retirar um enferrujado, sobram 9 parafusos (3 enferrujados e 6 não enferrujados).
   • Probabilidade de o segundo não ser enferrujado, dado que o primeiro foi enferrujado: $P(P_2N | P_1E) = \frac{6}{9}$.
   • $P(P_1E \cap P_2N) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$.

2. Calcular $P(P_2N)$: Probabilidade de o segundo parafuso não ser enferrujado. Isso pode acontecer de duas formas:

   • Caso 1: Primeiro enferrujado E segundo não enferrujado ($P_1E \cap P_2N$). Já calculamos: $\frac{4}{15}$.
   • Caso 2: Primeiro não enferrujado E segundo não enferrujado ($P_1N \cap P_2N$).
     • Probabilidade de o primeiro ser não enferrujado: $P(P_1N) = \frac{6}{10}$.
     • Após retirar um não enferrujado, sobram 9 parafusos (4 enferrujados e 5 não enferrujados).
     • Probabilidade de o segundo não ser enferrujado, dado que o primeiro foi não enferrujado: $P(P_2N | P_1N) = \frac{5}{9}$.
     • $P(P_1N \cap P_2N) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.
   • $P(P_2N) = P(P_1E \cap P_2N) + P(P_1N \cap P_2N) = \frac{4}{15} + \frac{1}{3} = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

3. Calcular $P(P_1E | P_2N)$:

   • $P(P_1E | P_2N) = \frac{P(P_1E \cap P_2N)}{P(P_2N)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{15} \times \frac{5}{3} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria a probabilidade de o primeiro ser enferrujado E o segundo não ser enferrujado, se as retiradas fossem com reposição (eventos independentes), ou seja, $P(P_1E) \times P(P_2N) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$. A armadilha da banca é confundir probabilidade condicional com probabilidade conjunta de eventos independentes.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional.
• (E) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que a probabilidade é $\frac{4}{9}$, seguindo a definição de probabilidade condicional e considerando a retirada sem reposição.