Questão de Raciocínio Lógico · FGV DATAPREV 2024 (nº 29)

Para calcular o número de conexões (estradas) entre vilarejos, onde cada par de vilarejos tem uma única estrada, usamos a fórmula de combinação simples $C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$, pois a ordem dos vilarejos na estrada não importa.

• Situação inicial: Com $x$ vilarejos, o número de estradas é $N_{inicial} = \frac{x(x-1)}{2}$.
• Situação final: Com 2 novos vilarejos, o total passa a ser $x+2$ vilarejos. O número de estradas é $N_{final} = \frac{(x+2)(x+1)}{2}$.
• Novas estradas: A quantidade de novas estradas é a diferença entre o número final e inicial de estradas: $N_{final} - N_{inicial} = 17$.

Substituindo as fórmulas:
$\frac{(x+2)(x+1)}{2} - \frac{x(x-1)}{2} = 17$
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar os denominadores:
$(x+2)(x+1) - x(x-1) = 34$
Expandimos os produtos:
$(x^2 + x + 2x + 2) - (x^2 - x) = 34$
$x^2 + 3x + 2 - x^2 + x = 34$
Simplificamos a equação:
$4x + 2 = 34 \4x = 34 - 2 \4x = 32$$x = \frac{32}{4}$$x = 8$.

(A) Incorreta: Se $x=6$, o número de novas estradas seria $2(6)+1 = 13$, e não 17. **(B) Incorreta:** Se$x=7, o número de novas estradas seria \2(7)+1 = 15$, e não 17. **(C) Correta:** O número de vilarejos inicialmente é$x=8$. Número inicial de estradas:$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = 28. Número final de vilarejos: \8+2=10$. Número final de estradas:$C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45. Novas estradas: \45 - 28 = 17$. Isso confirma o valor de$x=8$. **(D) Incorreta:** Se$x=9, o número de novas estradas seria \2(9)+1 = 19$, e não 17. **(E) Incorreta:** Se$x=10, o número de novas estradas seria \2(10)+1 = 21$, e não 17.