Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 46)

Medidas de dispersão são ferramentas estatísticas que nos dizem o quão espalhados os dados de um conjunto estão, ou a "distância" de um vetor, usando diferentes fórmulas para quantificar essa variabilidade. Cada métrica tem uma forma específica de calcular essa dispersão, como a soma dos desvios absolutos ou a raiz da soma dos desvios quadráticos.

Vamos calcular cada métrica para o vetor $V = (2, -1, 4, -2)$:

1. Norma L1: Soma dos valores absolutos das componentes.
   $||V||_1 = |2| + |-1| + |4| + |-2| = 2 + 1 + 4 + 2 = 9$.

2. Norma L2: Raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
   $||V||_2 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16 + 4} = \sqrt{25} = 5$.

3. Soma dos desvios absolutos em relação à mediana:
   Valores ordenados: $(-2, -1, 2, 4)$.
   Mediana ($M$) = $\frac{-1 + 2}{2} = 0.5$.
   Soma = $|2 - 0.5| + |-1 - 0.5| + |4 - 0.5| + |-2 - 0.5|$
   Soma = $|1.5| + |-1.5| + |3.5| + |-2.5| = 1.5 + 1.5 + 3.5 + 2.5 = 9$.

4. Raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios em relação à média (numerador do desvio padrão):
   Média ($\mu$) = $\frac{2 + (-1) + 4 + (-2)}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.
   Soma dos quadrados dos desvios = $(2 - 0.75)^2 + (-1 - 0.75)^2 + (4 - 0.75)^2 + (-2 - 0.75)^2$
   $= (1.25)^2 + (-1.75)^2 + (3.25)^2 + (-2.75)^2$
   $= 1.5625 + 3.0625 + 10.5625 + 7.5625 = 22.75$.
   Raiz quadrada = $\sqrt{22.75} \approx 4.77$.

Valores calculados:

1. 9
2. 5
3. 9
4. $\approx 4.77$

Comparando os valores: $4.77 < 5 < 9 = 9. Ou seja, \4 < 2 < 1 = 3$.

(A) Incorreta: 1 e 3 coincidem (ambos são 9), mas não são inferiores a todos os demais valores (são maiores que 2 e 4).
(B) Incorreta: 3 (valor 9) não é inferior a todos os demais, e 2 (valor 5) e 4 (valor $\approx 4.77$) não coincidem.
(C) Incorreta: 1 (valor 9) não é inferior a todos os demais, e 2 (valor 5) e 4 (valor $\approx 4.77$) não coincidem.
(D) Correta: O valor da métrica 4 ($\approx 4.77$) é inferior a todos os demais (5, 9, 9), e os valores das métricas 1 e 3 coincidem (ambos são 9).
(E) Incorreta: 2 (valor 5) e 4 (valor $\approx 4.77$) não coincidem. A armadilha aqui é a proximidade dos valores e a complexidade do cálculo de 4, que pode levar a erros de aproximação ou de cálculo, fazendo o aluno supor uma coincidência.