Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 59)

Para encontrar a menor quantidade de números diferentes em uma sequência, devemos fazer com que cada número (exceto o que aparece mais vezes) se repita o máximo de vezes possível, respeitando as condições dadas.

• 1. O número dominante: A sequência tem 2024 números. Um número ocorre exatamente 13 vezes. Este é um dos números diferentes na sequência.

• 2. Números restantes: Sobram $2024 - 13 = 2011$ posições na sequência para serem preenchidas por outros números.

• 3. Frequência máxima para os outros números: A condição "qualquer outro número dessa sequência ocorre menos vezes do que ele" significa que qualquer outro número distinto pode ocorrer, no máximo, 12 vezes (pois 12 é o maior inteiro menor que 13).

• 4. Minimizando a quantidade de números diferentes: Para usar o menor número possível de novos números distintos para preencher as 2011 posições restantes, devemos fazer com que cada um desses novos números se repita o máximo de vezes possível, ou seja, 12 vezes.

• 5. Cálculo do número mínimo de outros elementos distintos:

  • Precisamos distribuir 2011 ocorrências entre números que podem aparecer no máximo 12 vezes.
  • O número mínimo de elementos distintos necessários para isso é dado por $\lceil \frac{2011}{12} \rceil$.
  • $2011 \div 12 = 167$ com resto $7$.
  • Isso significa que precisamos de 167 números distintos aparecendo 12 vezes cada ($167 \times 12 = 2004$ ocorrências), e o restante ($2011 - 2004 = 7$ ocorrências) precisa de mais um número distinto (que aparecerá 7 vezes).
  • Portanto, são necessários $167 + 1 = 168$ números distintos adicionais.

• 6. Total de números diferentes:

  • 1 número (o dominante) que aparece 13 vezes.
  • 168 números distintos adicionais (167 aparecendo 12 vezes e 1 aparecendo 7 vezes).
  • Total = $1 + 168 = 169$ números inteiros diferentes.
  • Todas as frequências (12 e 7) são menores que 13, satisfazendo a condição.

• (A) Correta: O cálculo mostra que são necessários 168 números distintos para as 2011 posições restantes (além do número que aparece 13 vezes). Somando este número, temos $1 + 168 = 169$ números diferentes no total.

• (B) Incorreta: Esta alternativa representa o número de elementos distintos além do que aparece 13 vezes. Se houvesse 168 números diferentes no total, haveria 1 número (13x) e 167 outros números. O máximo de ocorrências para 167 outros números (cada um no máximo 12x) seria $167 \times 12 = 2004$, o que não é suficiente para as 2011 ocorrências restantes. A armadilha é confundir o número de "outros" elementos com o total de elementos.

• (C) Incorreta: Se houvesse 167 números diferentes no total, haveria 1 número (13x) e 166 outros números. O máximo de ocorrências para 166 outros números seria $166 \times 12 = 1992$, insuficiente para 2011.

• (D) Incorreta: Se houvesse 166 números diferentes no total, haveria 1 número (13x) e 165 outros números. O máximo de ocorrências para 165 outros números seria $165 \times 12 = 1980$, insuficiente para 2011.

• (E) Incorreta: Se houvesse 165 números diferentes no total, haveria 1 número (13x) e 164 outros números. O máximo de ocorrências para 164 outros números seria $164 \times 12 = 1968$, insuficiente para 2011.