Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 47)

O conceito-chave aqui é a equivalência financeira, que diz que o valor de um bem hoje (seu valor presente) deve ser igual à soma dos valores presentes de todas as parcelas, trazidas para a data da compra usando a taxa de juros.

Para a Opção I (primeira prestação no ato):
O valor à vista (R$ 1.230,00) é igual à primeira prestação ($P_I$) somada ao valor presente da segunda prestação ($P_I$ descontada por um mês).
$1230 = P_I + \frac{P_I}{(1+0,05)^1}$
$1230 = P_I \left(1 + \frac{1}{1,05}\right)$
$1230 = P_I \left(\frac{1,05 + 1}{1,05}\right)$
$1230 = P_I \left(\frac{2,05}{1,05}\right)$
$P_I = 1230 \times \frac{1,05}{2,05} = 630,00$

Para a Opção II (primeira prestação um mês após):
O valor à vista (R$ 1.230,00) é igual ao valor presente da primeira prestação ($P_{II}$ descontada por um mês) somado ao valor presente da segunda prestação ($P_{II}$ descontada por dois meses).
$1230 = \frac{P_{II}}{(1+0,05)^1} + \frac{P_{II}}{(1+0,05)^2}$
$1230 = P_{II} \left(\frac{1}{1,05} + \frac{1}{1,1025}\right)$
$1230 = P_{II} \left(\frac{1,05 + 1}{1,1025}\right)$
$1230 = P_{II} \left(\frac{2,05}{1,1025}\right)$
$P_{II} = 1230 \times \frac{1,1025}{2,05} = 661,50$

O valor $P_{II} - P_I$ é $661,50 - 630,00 = 31,50$. A armadilha aqui é não perceber que a Opção II é essencialmente a Opção I com todas as prestações atrasadas em um mês. Isso significa que o valor de cada prestação na Opção II deve ser maior para compensar o juro desse mês adicional. A diferença$P_{II} - P_I$é exatamente o juro de 5$P_I$(ou seja,$630 \times 0,05 = 31,50$).

(A) Correta: R$ 31,50. Este é o valor calculado da diferença entre $P_{II}$ e $P_I$, considerando a equivalência financeira e o valor do dinheiro no tempo.
(B) Incorreta: R$ 32,00. Este valor não corresponde aos cálculos corretos das prestações sob as condições dadas.
(C) Incorreta: R$ 32,20. Este valor não corresponde aos cálculos corretos das prestações sob as condições dadas.
(D) Incorreta: R$ 32,50. Este valor não corresponde aos cálculos corretos das prestações sob as condições dadas.
(E) Incorreta: R$ 33,00. Este valor não corresponde aos cálculos corretos das prestações sob as condições dadas.