Questão de Microeconomia · FGV CGE-SC 2022 (nº 14)

Para maximizar a utilidade, o consumidor busca a combinação de bens que lhe traga a maior satisfação possível, dada sua restrição orçamentária (o que ele pode pagar). Isso ocorre quando a taxa marginal de substituição (quanto de um bem ele está disposto a trocar por outro) é igual à razão dos preços dos bens.

Derivação:

1. Função Utilidade: u(x,y) = x^2y\
2. Restrição Orçamentária: p_x x + p_y y = w\
3. Taxas Marginais de Utilidade (TMU):
   • $MU_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 2xy$
   • MU_y = \frac{\partial u}{\partial y} = x^2\
4. Condição de Maximização (TMS = Razão de Preços):
   • $\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}$
   • $\frac{2xy}{x^2} = \frac{p_x}{p_y}$
   • \frac{2y}{x} = \frac{p_x}{p_y}\
5. Isolando uma variável (ex: x):
   • 2yp_y = xp_x \implies x = \frac{2yp_y}{p_x}\
6. Substituindo na Restrição Orçamentária:
   • $p_x \left(\frac{2yp_y}{p_x}\right) + p_y y = w$
   • $2yp_y + p_y y = w$
   • $3yp_y = w$
   • y = \frac{w}{3p_y}\
7. Substituindo y de volta na expressão para x:
   • $x = \frac{2}{p_x} \left(\frac{w}{3p_y}\right) p_y$
   • $x = \frac{2w}{3p_x}$

(A) Incorreta: Esta alternativa inverte as proporções de renda gastas em x e y. A armadilha aqui é confundir os expoentes da função de utilidade com a proporção de renda. Para $u(x,y) = x^a y^b$, a proporção da renda gasta em x é $a/(a+b)$ e em y é $b/(a+b)$. Aqui, $a=2$ e $b=1$.
(B) Correta: As quantidades de $x = \frac{2w}{3p_x}$ e $y = \frac{w}{3p_y}$ são obtidas corretamente ao igualar a Taxa Marginal de Substituição à razão de preços e resolver o sistema com a restrição orçamentária. Isso significa que o consumidor gastará 2/3 de sua renda em x e 1/3 em y.
(C) Incorreta: Esta alternativa sugere que o consumidor gasta toda a sua renda em x e toda a sua renda em y, o que é impossível, ou que a renda é dividida igualmente sem considerar os pesos dos bens na função de utilidade.
(D) Incorreta: Esta alternativa sugere que o consumidor gasta metade da renda em cada bem, o que só seria verdade se os expoentes da função de utilidade fossem iguais (por exemplo, $x^1y^1$).
(E) Incorreta: Esta alternativa apresenta uma combinação de divisões de renda que não corresponde à maximização de utilidade para a função dada.