Questão de Matemática · FGV CBMERJ 2024 (nº 42)

Semelhança de triângulos acontece quando dois triângulos têm os mesmos ângulos, mesmo que seus tamanhos sejam diferentes. Isso significa que a proporção entre os lados correspondentes desses triângulos é sempre a mesma.

• (A) Incorreta: Resultado de um erro de cálculo na resolução das equações ou na aplicação da proporção de semelhança.
• (B) Incorreta: Resultado de um erro de cálculo na resolução das equações ou na aplicação da proporção de semelhança.
• (C) Correta: Para resolver, primeiro identificamos que, como o retângulo ADEF tem o vértice A em comum com o triângulo ABC, e seus lados AD e AF estão sobre os lados AB e AC do triângulo, respectivamente, o ângulo A do triângulo deve ser de 90 graus para que ADEF seja um retângulo.
  Seja AD = x (base do retângulo) e DE = y (altura do retângulo).
  O problema informa que AD é o dobro de DE, então $x = 2y$.
  Como ADEF é um retângulo, o lado DE é paralelo ao lado AF (que está sobre AC). Portanto, DE é paralelo a AC.
  Isso faz com que o triângulo BDE seja semelhante ao triângulo BAC (pelo critério Ângulo-Ângulo - AA, pois o ângulo B é comum a ambos e os ângulos $\angle BED$ e $\angle BCA$ são ângulos correspondentes).
  Pela semelhança, a proporção dos lados correspondentes é: $\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}$.
  Sabemos que $BD = AB - AD = 8 - x$.
  Então, $\frac{8 - x}{8} = \frac{y}{6}$.
  Agora, substituímos $x = 2y$ na equação:
  $\frac{8 - 2y}{8} = \frac{y}{6}$
  Multiplicando em cruz:
  $6(8 - 2y) = 8y$
  $48 - 12y = 8y$
  $48 = 20y$
  $y = \frac{48}{20} = \frac{12}{5} = 2,4$ cm.
  Agora, calculamos $x$:
  $x = 2y = 2 \times 2,4 = 4,8$ cm.
  O perímetro do retângulo ADEF é $2 \times (x + y) = 2 \times (4,8 + 2,4) = 2 \times 7,2 = 14,4$ cm.
• (D) Incorreta: Resultado de um erro de cálculo na resolução das equações ou na aplicação da proporção de semelhança.
• (E) Incorreta: Resultado de um erro de cálculo na resolução das equações ou na aplicação da proporção de semelhança.