Questão de Matemática · FGV CBMERJ 2024 (nº 40)

O conceito-chave aqui é a relação entre os lados de um triângulo retângulo (um triângulo com um ângulo de 90 graus) e a tangente de um de seus ângulos agudos (ângulos menores que 90 graus). A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto oposto (lado em frente ao ângulo) e o comprimento do cateto adjacente (lado ao lado do ângulo, que não é a hipotenusa).

• (A) Incorreta: 13 cm é o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 e 12 (pois $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$), mas não é a soma dos catetos do triângulo em questão.
• (B) Incorreta: 17 cm é a soma dos catetos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 e 12 ($5+12=17$). A armadilha aqui é que o estudante pode encontrar a proporção dos catetos (5 e 12) e somá-los, esquecendo-se de escalá-los para o tamanho real do triângulo, que tem hipotenusa 39 cm.
• (C) Incorreta: 34 cm não corresponde à soma dos catetos, nem a qualquer cálculo direto a partir dos dados fornecidos.
• (D) Incorreta: 43 cm não corresponde à soma dos catetos, nem a qualquer cálculo direto a partir dos dados fornecidos.
• (E) Correta: A tangente de um ângulo agudo é $\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{5}{12}$. Isso significa que os catetos podem ser representados como $5k e \12k$ para alguma constante $k$. Pelo Teorema de Pitágoras, $(\text{cateto oposto})^2 + (\text{cateto adjacente})^2 = (\text{hipotenusa})^2$. Substituindo os valores, $(5k)^2 + (12k)^2 = (39)^2 \Rightarrow 25k^2 + 144k^2 = 1521 \Rightarrow 169k^2 = 1521 \Rightarrow k^2 = \frac{1521}{169} \Rightarrow k^2 = 9 \Rightarrow k = 3$ (já que $k$ deve ser positivo). Assim, os catetos medem $5 \times 3 = 15$ cm e $12 \times 3 = 36$ cm. A soma das medidas dos catetos é $15 + 36 = 51$ cm.