Questão de Matemática · FGV CBMERJ 2024 (nº 38)

Para resolver equações sem encontrar as raízes, usamos as Relações de Girard (ou Vieta), que conectam os coeficientes de uma equação polinomial com a soma e o produto de suas raízes. Para uma equação quadrática $Ax^2 + Bx + C = 0$, a soma das raízes ($a+b$) é igual a $-B/A$ e o produto das raízes ($ab$) é igual a $C/A$.

Análise da questão:
A equação dada é $2x^2 + 7x + 1 = 0$.
Aqui, $A=2$, $B=7$ e $C=1$.
Usando as Relações de Girard:

• Soma das raízes ($a+b$): $-(B/A) = -(7/2) = -7/2$.
• Produto das raízes ($ab$): $C/A = 1/2$.

Agora, vamos substituir esses valores na expressão que queremos calcular: $4a + 4b + 7ab$.
Podemos fatorar os dois primeiros termos: $4(a+b) + 7ab$.
Substituindo os valores encontrados:
$4(-7/2) + 7(1/2)$$-28/2 + 7/2$$-14 + 7/2$Para somar, colocamos no mesmo denominador:$-28/2 + 7/2 = (-28 + 7)/2 = -21/2$.

Alternativas:

• (A) Correta: O valor calculado é $-\frac{21}{2}$, que corresponde a esta alternativa. A aplicação correta das Relações de Girard e a substituição na expressão levam a este resultado.
• (B) Incorreta: $\frac{21}{2}$. Este é o distrator mais tentador. Um erro comum seria calcular $14 - 7/2$em vez de$-14 + 7/2$, ou seja, um erro de sinal na etapa final da soma, ou um erro de sinal na soma das raízes (usar$B/A$em vez de$-B/A$) combinado com outro erro. Se o aluno usasse$a+b = 7/2$(erro de sinal) e$ab = -1/2 (erro de sinal), o resultado seria \4(7/2) + 7(-1/2) = 14 - 7/2 = 21/2$.
• (C) Incorreta: $-\frac{11}{2}$. Este valor não é obtido por erros comuns nas Relações de Girard. Por exemplo, se $a+b = -1/2$ e $ab = 1/2$, teríamos $4(-1/2) + 7(1/2) = -2 + 7/2 = 3/2$. Não corresponde.
• (D) Incorreta: $\frac{11}{2}$. Semelhante à alternativa C, não resulta de erros típicos na aplicação das fórmulas.
• (E) Incorreta: $\frac{7}{2}$. Este valor corresponde apenas à soma das raízes com o sinal trocado (B/A) ou ao coeficiente B dividido por A. Não é o resultado da expressão completa.